Свертка p-вектора и p-формы в МТУ

[Padawan]

Читаю Мизнер, Торн, Уилер Гравитация, том 1. На странице 133 читаю:
4. Свертка $p$-формы с $p$-вектором

$$ \substack{\Large{\langle\boldsymbol{\alpha},\mathbf{A}\rangle}\\p\;\;p} =\alpha_{|i_1\ldots i_p|}A^{|j_1\ldots j_p|}\langle \boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p},\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\rangle=\alpha_{|i_1\ldots i_p|}A^{|j_1\ldots j_p|}\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}=\alpha_{|i_1\ldots i_p|}A^{i_1\ldots i_p}. $$

(вертикальные палочки означают, что суммирование идет только по $i_1<\ldots<i_p$, $\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}$ -- обобщенная дельта Кронекера https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta#Definitions_of_the_generalized_Kronecker_delta)
Меня смущает равенство $\langle \boldsymbol{\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p},\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\rangle=\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}$. По-моему, должно быть $\langle \boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p},\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\rangle=p!\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}$.

Ранее авторы определяют свертку тензоров как обычно $A^{\mu\sigma}B_{\sigma\nu}$. Также $\wedge$ -- косое произведение -- определяют как $\mathbf{u}\wedge\mathbf{v}=\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}-\mathbf{v}\otimes\mathbf{u}$ без всяких коэффициентов. Но тогда, компоненты тензоров $\left(\boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p}\right)_{s_1\ldots s_p}=\delta\limits^{i_1\ldots i_p}_{s_1\ldots s_p}$, $\left(\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\right)^{s_1\ldots s_p}=\delta^{s_1\ldots s_p}_{j_1\ldots j_p}$. Значит, их свёртка

$$ \langle \boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p},\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\rangle=\delta\limits^{i_1\ldots i_p}_{s_1\ldots s_p}\delta^{s_1\ldots s_p}_{j_1\ldots j_p}=p!\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}. $$

Вот если бы было написано $\boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p}(\mathbf{e}_{j_1},\ldots,\mathbf{e}_{j_p})=\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1,\ldots j_p}$, я бы согласился.

Также на странице 135 объясняется как понимать интеграл $\int\boldsymbol{\alpha}$ от $p$-формы по $p$-мерной поверхности. И приводится формула

$$ \int\boldsymbol{\alpha}=\iint\ldots\int\left\langle\boldsymbol{\alpha},\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^1}\wedge\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^2}\wedge\ldots\wedge\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^p}\right\rangle\; d\lambda^1d\lambda^2\ldots d\lambda^p $$

То же самое возражение -- должно быть

$$ \int\boldsymbol{\alpha}=\iint\ldots\int\boldsymbol{\alpha}\left(\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^1},\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^2},\ldots,\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^p}\right)\; d\lambda^1d\lambda^2\ldots d\lambda^p $$

Причём, подынтегральное выражение $\left\langle\boldsymbol{\alpha},\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^1}\wedge\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^2}\wedge\ldots\wedge\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^p}\right\rangle\; d\lambda^1d\lambda^2\ldots d\lambda^p$ они интерпретируют, как "количество ячеек $\boldsymbol{\alpha}$, которые пересекает бесконечно малый параллелепипед, построенный на векторах $\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^1}d\lambda^1,\ldots,\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^p}d\lambda^p$". Но в то же время, когда они рассматривают на странице 140 пример 2-формы $\mathbf F=B_x\mathbf d y\wedge\mathbf dz$, то пишут, что "количество ячеек, которые пересекает параллелограмм, построенный на векторах $\mathbf u$, $\mathbf v$ равно $\mathbf F(\mathbf u,\mathbf v)$. То есть неявно подразумевают, что $\langle \mathbf F,\mathbf u\wedge\mathbf v\rangle=\mathbf{F(u,v)}$, что не верно, если свёртку понимать, как обычно понимается свёртка тензоров.

Они специально свертку $p$-форм и $p$-векторов так определили без коэффициента $p!$, что не согласуется с ранее введённой сверткой тензоров, или они ошибаются по невнимательности?

[Slav-27]

Padawan в сообщении #1519051 писал(а):

По-моему, должно быть $\langle \boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p},\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\rangle=p!\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}$

Этот множитель-факториал никому не нужен, поэтому определяют так, чтобы его не было.

[Padawan]

Тогда он вылезет в другом месте.

[Slav-27]

Там как ни определяй, обязательно где-нибудь полезут факториалы, которых хочется, чтобы не было. Поэтому определения ужасающим образом разнятся от текста к тексту. Лучше подбирать их так, чтобы минимизировать количество встречающихся в тексте факториалов.

Возможные различия. 1) Как вкладываем $\Lambda^kV$ в $\otimes^k V$? Некоторые варианты: а) с делением на факториал, б) с делением на квадратный корень из факториала, в) без деления на факториал, г) никак.
2) Как определяем изоморфизм между $\Lambda^k(V^*)$ и $(\Lambda^kV)^*$? Варианты: а) с помощью вложения из п. 1 и изоморфзима $\otimes^k(V^*)\simeq (\otimes^kV)^*$, про который разногласий в литературе нет, б) то же самое, но где-то ещё добавляем факториал, в) отдельно, безотносительно вложений в тензорную степень.

И так далее.

[Padawan]

(Оффтоп)

Slav-27 в сообщении #1519065 писал(а):

б) то же самое, но где-то ещё добавляем факториал

[svv]

Padawan в сообщении #1519051 писал(а):

Они специально свертку $p$-форм и $p$-векторов так определили без коэффициента $p!$, что не согласуется с ранее введённой сверткой тензоров

Да. То, что это не обычная свёртка тензоров, видно сразу:
$\langle\boldsymbol{\alpha},\mathbf{A}\rangle=\alpha_{|i_1\ldots i_p|}A^{i_1\ldots i_p}$
Для обычной свёртки в правой части было бы $\alpha_{i_1\ldots i_p}A^{i_1\ldots i_p}$, без вертикальных палочек.

В случае пары $p$-форма, $p$-вектор обычная свёртка дала бы слишком много одинаковых слагаемых в сумме, что неудобно для практики.

До формулы на стр. 133 угловые скобки не использовались для обозначения свёртки тензоров, не считая случая свёртки 1-формы с вектором (обобщением которого эта формула и является).