2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свертка p-вектора и p-формы в МТУ
Сообщение18.05.2021, 12:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Читаю Мизнер, Торн, Уилер Гравитация, том 1. На странице 133 читаю:
4. Свертка $p$-формы с $p$-вектором
$$
\substack{\Large{\langle\boldsymbol{\alpha},\mathbf{A}\rangle}\\p\;\;p} =\alpha_{|i_1\ldots i_p|}A^{|j_1\ldots j_p|}\langle \boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p},\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\rangle=\alpha_{|i_1\ldots i_p|}A^{|j_1\ldots j_p|}\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}=\alpha_{|i_1\ldots i_p|}A^{i_1\ldots i_p}.
$$
(вертикальные палочки означают, что суммирование идет только по $i_1<\ldots<i_p$, $\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}$ -- обобщенная дельта Кронекера https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta#Definitions_of_the_generalized_Kronecker_delta)
Меня смущает равенство $\langle \boldsymbol{\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p},\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\rangle=\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}$. По-моему, должно быть $\langle \boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p},\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\rangle=p!\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}$.

Ранее авторы определяют свертку тензоров как обычно $A^{\mu\sigma}B_{\sigma\nu}$. Также $\wedge$ -- косое произведение -- определяют как $\mathbf{u}\wedge\mathbf{v}=\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}-\mathbf{v}\otimes\mathbf{u}$ без всяких коэффициентов. Но тогда, компоненты тензоров $\left(\boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p}\right)_{s_1\ldots s_p}=\delta\limits^{i_1\ldots i_p}_{s_1\ldots s_p}$, $\left(\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\right)^{s_1\ldots s_p}=\delta^{s_1\ldots s_p}_{j_1\ldots j_p}$. Значит, их свёртка
$$
\langle \boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p},\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\rangle=\delta\limits^{i_1\ldots i_p}_{s_1\ldots s_p}\delta^{s_1\ldots s_p}_{j_1\ldots j_p}=p!\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}.
$$
Вот если бы было написано $\boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p}(\mathbf{e}_{j_1},\ldots,\mathbf{e}_{j_p})=\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1,\ldots j_p}$, я бы согласился.

Также на странице 135 объясняется как понимать интеграл $\int\boldsymbol{\alpha}$ от $p$-формы по $p$-мерной поверхности. И приводится формула
$$
\int\boldsymbol{\alpha}=\iint\ldots\int\left\langle\boldsymbol{\alpha},\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^1}\wedge\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^2}\wedge\ldots\wedge\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^p}\right\rangle\; d\lambda^1d\lambda^2\ldots d\lambda^p
$$
То же самое возражение -- должно быть
$$
\int\boldsymbol{\alpha}=\iint\ldots\int\boldsymbol{\alpha}\left(\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^1},\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^2},\ldots,\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^p}\right)\; d\lambda^1d\lambda^2\ldots d\lambda^p
$$
Причём, подынтегральное выражение $\left\langle\boldsymbol{\alpha},\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^1}\wedge\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^2}\wedge\ldots\wedge\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^p}\right\rangle\; d\lambda^1d\lambda^2\ldots d\lambda^p$ они интерпретируют, как "количество ячеек $\boldsymbol{\alpha}$, которые пересекает бесконечно малый параллелепипед, построенный на векторах $\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^1}d\lambda^1,\ldots,\frac{\partial\mathscr P}{\partial\lambda^p}d\lambda^p$". Но в то же время, когда они рассматривают на странице 140 пример 2-формы $\mathbf F=B_x\mathbf d y\wedge\mathbf dz$, то пишут, что "количество ячеек, которые пересекает параллелограмм, построенный на векторах $\mathbf u$, $\mathbf v$ равно $\mathbf F(\mathbf u,\mathbf v)$. То есть неявно подразумевают, что $\langle \mathbf F,\mathbf u\wedge\mathbf v\rangle=\mathbf{F(u,v)}$, что не верно, если свёртку понимать, как обычно понимается свёртка тензоров.

Они специально свертку $p$-форм и $p$-векторов так определили без коэффициента $p!$, что не согласуется с ранее введённой сверткой тензоров, или они ошибаются по невнимательности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка p-вектора и p-формы в МТУ
Сообщение18.05.2021, 13:13 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Padawan в сообщении #1519051 писал(а):
По-моему, должно быть $\langle \boldsymbol {\omega}^{i_1}\wedge\ldots\wedge\boldsymbol{\omega}^{i_p},\mathbf{e}_{j_1}\wedge\ldots\wedge\mathbf{e}_{j_p}\rangle=p!\delta^{i_1\ldots i_p}_{j_1\ldots j_p}$
Этот множитель-факториал никому не нужен, поэтому определяют так, чтобы его не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка p-вектора и p-формы в МТУ
Сообщение18.05.2021, 13:21 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Тогда он вылезет в другом месте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка p-вектора и p-формы в МТУ
Сообщение18.05.2021, 13:25 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Там как ни определяй, обязательно где-нибудь полезут факториалы, которых хочется, чтобы не было. Поэтому определения ужасающим образом разнятся от текста к тексту. Лучше подбирать их так, чтобы минимизировать количество встречающихся в тексте факториалов.

Возможные различия. 1) Как вкладываем $\Lambda^kV$ в $\otimes^k V$? Некоторые варианты: а) с делением на факториал, б) с делением на квадратный корень из факториала, в) без деления на факториал, г) никак.
2) Как определяем изоморфизм между $\Lambda^k(V^*)$ и $(\Lambda^kV)^*$? Варианты: а) с помощью вложения из п. 1 и изоморфзима $\otimes^k(V^*)\simeq (\otimes^kV)^*$, про который разногласий в литературе нет, б) то же самое, но где-то ещё добавляем факториал, в) отдельно, безотносительно вложений в тензорную степень.

И так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка p-вектора и p-формы в МТУ
Сообщение18.05.2021, 16:17 
Заслуженный участник


13/12/05
4518

(Оффтоп)

Slav-27 в сообщении #1519065 писал(а):
б) то же самое, но где-то ещё добавляем факториал

:lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка p-вектора и p-формы в МТУ
Сообщение19.05.2021, 10:34 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Padawan в сообщении #1519051 писал(а):
Они специально свертку $p$-форм и $p$-векторов так определили без коэффициента $p!$, что не согласуется с ранее введённой сверткой тензоров
Да. То, что это не обычная свёртка тензоров, видно сразу:
$\langle\boldsymbol{\alpha},\mathbf{A}\rangle=\alpha_{|i_1\ldots i_p|}A^{i_1\ldots i_p}$
Для обычной свёртки в правой части было бы $\alpha_{i_1\ldots i_p}A^{i_1\ldots i_p}$, без вертикальных палочек.

В случае пары $p$-форма, $p$-вектор обычная свёртка дала бы слишком много одинаковых слагаемых в сумме, что неудобно для практики.

До формулы на стр. 133 угловые скобки не использовались для обозначения свёртки тензоров, не считая случая свёртки 1-формы с вектором (обобщением которого эта формула и является).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group