Кострикин Введение в алгебру, часть 2, гл. 2, пар-ф 2, зад.5

[Sonic86]

Кострикин Введение в алгебру, часть 2, гл. 2, параграф 2, задача 5:
Доказать, что для люых линейных операторов $\mathcal{A,B}$ на $V$ имеет место равенство:

$$\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{rank}\mathcal{B}+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})$$

И я туплю, наверное, но как это вообще может быть верно? $\mathcal{A,B}$ произвольны, а равенство несимметрично. По симметрии сразу получаем:

$$\operatorname{rank}\mathcal{B}=\operatorname{rank}\mathcal{A}+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{B} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{A}),$$

откуда $\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{B} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{A})=\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})=0$ и $\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{rank}\mathcal{B}$.
Или его можно опровергнуть так:
Пусть $\operatorname{dim}V=2$. Возьмем такие операторы $\mathcal{A,B}$ и базис, что матрица $\mathcal{A}$ в нем равна $\binom{1 \ 0}{0 \ 0}$, а матрица $\mathcal{B}$ равна $\binom{0 \ 0}{0 \ 1}$. Тогда $\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{rank}\mathcal{B}=1$, а $\operatorname{Im}\mathcal{A}=\left\{\binom{x \ 0}{0 \ 0}, x\in K\right\}$, $\operatorname{Ker}\mathcal{B}=\left\{\binom{x \ y}{0 \ 0}, x,y\in K\right\}$ и $\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{B} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{A})=\operatorname{dim}\left\{\binom{x \ 0}{0 \ 0}, x\in K\right\}=1,$ т.е. в итоге $1=1+1$.

Где я не прав?

[artempalkin]

Да, ошибка, раньше не замечал.

Похоже, что должно быть

$$\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{rank}\mathcal{BA}+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})$$

[arseniiv]

Sonic86
Кстати сравнивали ли с другими изданиями? Говорят, там разный набор опечаток. (Вроде vpb сравнивал.)

[vpb]

Нет, я не сравнивал детально старое издание (1977) и новое. Однако,

vpb в сообщении #1518543 писал(а):

Да. Я бы рекомендовал пользоваться одновременно трехтомным и однотомным. В трехтомном есть разные вещи, которых нет в однотомном. С другой стороны, в трехтомном больше опечаток, а также, возможно, (но не факт ! ) некоторые "улучшения" по сравнению с однотомным на самом деле таковыми не являются. Впрочем, сейчас, заглянув в ту и в другую книжки, я убедился, что в трехтомнике есть довольно много улучшений действительно (без кавычек).

[Sonic86]

arseniiv в сообщении #1518495 писал(а):

Sonic86
Кстати сравнивали ли с другими изданиями? Говорят, там разный набор опечаток.

Я не смог нагуглить другое издание.

artempalkin в сообщении #1518472 писал(а):

Похоже, что должно быть

$$\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{rank}\mathcal{BA}+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})$$

Да, так и есть, спасибо! Это соотношение у меня получилось доказать.
Делал я это так:

$\operatorname{rank}\mathcal{A}=\operatorname{dim}\operatorname{Im}\mathcal{A}=\operatorname{dim}V-\operatorname{dim}\operatorname{Ker}\mathcal{A}$
Значит соотношение равносильно

$$\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})=\operatorname{dim}\operatorname{Ker}\mathcal{BA}-\operatorname{dim}\operatorname{Ker}\mathcal{A}$$

И теперь:
$\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})=\{x:x=\mathcal{A}y, \operatorname{Ker}\mathcal{B}y=0\}=$$\{x:x=\mathcal{A}y, \operatorname{Ker}\mathcal{BA}y=0\}$
Пусть $E_A=\{e_i:i \in M_A\}$ - базис $\operatorname{Ker}\mathcal{A}$. Дополним $E_A$ до базиса $\operatorname{Ker}\mathcal{BA}$, обозначим полученный базис $E_{BA}=\{e_i:i \in M_{BA}\}$.
Тогда $\operatorname{Ker}\mathcal{BA}y=0 \Leftirghtarrow y=\sum\limits_{i\in M_{BA}}a_ie_i$. $\mathcal{A}y=\sum\limits_{i\in M_{BA}\setminus M_A}a_ie_i$. Если система $\{\mathcal{A}(e_i):i \in M_{BA}\setminus M_A\}$ линейно независима, то получаем требуемое: $\operatorname{dim}(\operatorname{Im}\mathcal{A} \cap \operatorname{Ker}\mathcal{B})=|M_{BA}|-|M_A|=\operatorname{dim}\operatorname{Ker}\mathcal{BA}-\operatorname{dim}\operatorname{Ker}\mathcal{A}$.
Докажем линейную независимость от противного:
Если $(\exists b_i)\sum\limits_{i\in M_{BA}\setminus M_A}b_i\mathcal{A}e_i=0$, то это равносильно $\mathcal{A}\left(\sum\limits_{i\in M_{BA}\setminus M_A}b_ie_i\right)=0 \Leftrightarrow \sum\limits_{i\in M_{BA}\setminus M_A}b_ie_i \in \operatorname{Ker}\mathcal{A}$ $\Leftrightarrow (\exists c_i) \sum\limits_{i\in M_{BA}\setminus M_A}b_ie_i = \sum\limits_{i\in M_A}c_ie_i$. Т.е. векторы из $M_{BA}$ линейно зависимы, что противоречит определению $M_{BA}$.