Сколько существует видов треугольников, ...

[manul91]

Допустим, я в ходе построения делаю операцию X и утверждаю, что она "относится к вершине M" строимого вписанного треугольника.
Петя говорит "нет, она не относится к вершине М а к вершине N" (или "ни к какой конкретной вершине не относится").
Как кому-то из нас доказать кто прав, если ни одна из вершин вписанного треугольника не получается непосредственным результатом операции Х? (и/или как быть, если получаем например сразу двух вершин?).
По-моему, это "требование" ("один и тот же алгоритм на каждой из вершин") в итоге бессмысленно, ибо его нельзя корректно формализовать. Хотя на первый взгляд кажется, что интуитивно понятно что это.

[wrest]

arseniiv в сообщении #1517643 писал(а):

В моей модели никак, в ней мы не можем узнать, как три точки лежат друг относительно друга на прямой, а тем более сравнить длины, увы. А в классических построениях это точно используется? (wrest? )

Думаю, что не используется. Не могу утверждать, впрочем.
Но неявно выбор производится. Например в описанном мной алгоритме опускания перпендикуляра из данной точки на данную прямую, после первого шага выбирается одна из двух точек пересечения окружности и прямой. Алгоритм, естественно, работает при выборе любой из двух.
Ну вот если строить скажем вневписанную окружность, надо же как-то решить что значит "вне", то есть как-то определить порядок придется. Пересечение двух прямых дает два (смежных) угла, и надо между ними выбрать (какие биссектрисы строить).

[Sender]

wrest в сообщении #1517575 писал(а):

Ну тут вроде есть разные взгляды: нередко считают, что циркуль "забывает" радиус сразу, как его оторвали от бумаги, т.е. окружность задается двумя точками: центром и точкой на ней.

Любопытно. И как в таких условиях прикажете построить, скажем, треугольник по трём сторонам, заданным тремя произвольно расположенными отрезками?

[wrest]

Sender в сообщении #1517726 писал(а):

Любопытно. И как в таких условиях прикажете построить, скажем, треугольник по трём сторонам, заданным тремя произвольно расположенными отрезками?

Параллельным переносом двух сторон к противополжным концам третьей. Это делается и линейкой с "забывающим" циркулем. Там проблем нет, просто увеличивается количество ходов.

[arseniiv]

wrest в сообщении #1517724 писал(а):

Например в описанном мной алгоритме опускания перпендикуляра из данной точки на данную прямую, после первого шага выбирается одна из двух точек пересечения окружности и прямой. Алгоритм, естественно, работает при выборе любой из двух.

Да, я думаю, что это можно не считать за выбор. В некотором смысле эти точки одинаковы между собой, и станут разными только в контексте каких-то специфических построений, при которых, я надеюсь, мы сможем получить одну или другую иным образом, не через пересечение окружности с линией. (Это не предмет для этой темы, но алгебраисты наверно давно на этот вопрос ответили. Что-нибудь там про расширения полей. Ситуация должна быть похожа с заменой $i \mapsto -i$ в вычислениях с комплексными числами — мы никогда не отличим, какую из двух мнимых единиц нам дали свыше, только арифметикой и сопряжением. А в элементарной синтетической геометрии у нас нет способа делать построения, учитывающие ориентацию плоскости, то есть например построить равноотстоящие точки на какой-то окружности конкретно по часовой или против часовой стрелки — мы легко добьёмся их расположения в каком-то порядке, но никогда не узнаем, в каком именно; такая плоскость не ориентирована.)

wrest в сообщении #1517724 писал(а):

Ну вот если строить скажем вневписанную окружность, надо же как-то решить что значит "вне", то есть как-то определить порядок придется. Пересечение двух прямых дает два (смежных) угла, и надо между ними выбрать (какие биссектрисы строить).

Гм вот это интересный вопрос. Или получается, что многие построители циркулем и линейкой себе (вероятно, неосознанно) врут, или это как-то можно хитро устроить. Например мы точно можем построить вписаную и описаную окружности, и если допустить нам узнавать, были ли пересечения чего-то с чем-то, то у нас появляется шанс отличить внутренний угол от остальных трёх.

Когда мы строим середину отрезка, мы строим точку, гарантированно лежащую между двумя другими, и это может тоже оказаться достаточным, но не вижу как. А, ну то есть у нас есть возможность построить точки, лежащие на сторонах именно внутренних углов треугольника, а потом мы можем отражать их и получать точки, лежащие с обратной стороны. Как вам такое?

Ещё можно просто требовать, чтобы перед построением отмечали точку в каком-то месте, относящемся к треугольнику так, как нам надо — например внутри интересующего угла?..

-- Вс май 09, 2021 21:01:24 --

Заодно понял, что не имею ни малейшего представления, как надо ограничить построения циркулем и линейкой, чтобы получать только такие объекты, для которых достаточно проективной геометрии, а точнее нам надо ограничиться лишь такими построениями, что если мы построили $X$ на основе $A, B, C, \ldots$, то для любого проективного преобразования $f$, $f(X)$ совпадает с результатом такого же построения на основе $f(A), f(B), f(C), \ldots$ — а те построения, для которых не совпадает, «не проективно инвариантные».

[wrest]

arseniiv в сообщении #1517809 писал(а):

Заодно понял, что не имею ни малейшего представления, как надо ограничить построения циркулем и линейкой, чтобы получать только такие объекты, для которых достаточно проективной геометрии,

Для этого, как мне кажется, надо забрать циркуль :) и оставить только линейку.

-- 09.05.2021, 19:34 --

arseniiv в сообщении #1517809 писал(а):

Да, я думаю, что это можно не считать за выбор. В некотором смысле эти точки одинаковы между собой, и станут разными только в контексте каких-то специфических построений

Я, практически, делаю так. Строю в геогебре, а потом по-всякому двигаю исходные объекты, например вершины треугольника, и смотрю на то, остается ли построение существующим (и правильным).
В случае опускания перпендикуляра за три шага алгоритм не работает если точка лежит на прямой. В таком случае надо применять "четырех шаговый" школьный алгоритм который работает всегда.

-- 09.05.2021, 19:34 --

arseniiv в сообщении #1517809 писал(а):

Да, я думаю, что это можно не считать за выбор. В некотором смысле эти точки одинаковы между собой, и станут разными только в контексте каких-то специфических построений

Я, практически, делаю так. Строю в геогебре, а потом по-всякому двигаю исходные объекты, например вершины треугольника, и смотрю на то, остается ли построение существующим (и правильным).
В случае опускания перпендикуляра за три шага алгоритм не работает если точка лежит на прямой. В таком случае надо применять "четырех шаговый" школьный алгоритм который работает всегда.

[arseniiv]

wrest в сообщении #1517817 писал(а):

Для этого, как мне кажется, надо забрать циркуль :) и оставить только линейку.

Но это даст какой-то совсем слабенький набор построимых объектов. Хочется иметь циркуль, просто его надо как-то разумно ограничить. Ведь с ним мы ведь можем построить точку, находящуюся в интересующем рациональном двойном отношении с тремя другими, что сохраняется, или мы можем, задав проективное преобразование четырьмя парами точек, с использованием циркуля применить его к произвольной точке. Это не хочется выкидывать, потому что для преобразований подобия (две пары) и вообще аффинных (три пары) преобразований мы такое циркулем и линейкой можем.

Вот кстати я сразу перепрыгнул до проективных конструкций, а аффинные заслуживают такой же вопрос. А вот для преобразований подобия всё хорошо — ничего не надо запрещать циркулю, если я ничего не упускаю.

[wrest]

arseniiv в сообщении #1517809 писал(а):

Да, я думаю, что это можно не считать за выбор. В некотором смысле эти точки одинаковы между собой, и станут разными только в контексте каких-то специфических построений

Я, практически, делаю так. Строю в геогебре, а потом по-всякому двигаю исходные объекты, например вершины треугольника, и смотрю на то, остается ли построение существующим (и правильным).
В случае опускания перпендикуляра за три шага алгоритм не работает если точка лежит на прямой. В таком случае надо применять "четырех шаговый" школьный алгоритм который работает всегда.

[manul91]

arseniiv в сообщении #1517809 писал(а):

Заодно понял, что не имею ни малейшего представления, как надо ограничить построения циркулем и линейкой, чтобы получать только такие объекты, для которых достаточно проективной геометрии, а точнее нам надо ограничиться лишь такими построениями, что если мы построили $X$ на основе $A, B, C, \ldots$, то для любого проективного преобразования $f$, $f(X)$ совпадает с результатом такого же построения на основе $f(A), f(B), f(C), \ldots$ — а те построения, для которых не совпадает, «не проективно инвариантные».

А почему нужно ограничивать еще и только до "проективно инвариантных"?
Мы и так уже довольно сильно ограничены условий ТС по самое не могу.
Извиняюсь за нескромность - но насколько я понимаю, тогда "мое" построение на основе наименьшей стороны должно быть исключено - а оно мне нравится как раз из-за того что "не проективное" (и не "сохраняет непрерывность" при "непрерывности" изменений исходного треугольника).
Кроме того исходные треугольники обязаны быть разносторонними по условию - и так как существуют преобразования $f$ которое их переводят в равнобедерными или равностороними - нет необходимости, чтобы для них построение имело смысла (а ваше условие требует чтобы и для них "построение оставалось таким же"). Так же для других "вырожденных" относно построению случаев (прямоугольных, тупоугольных и т.д.).

Насчет "выбора точек", "углов" и прочего.
Условия ТС на вписанного (вершины вписанного должны лежать на одной - и только одной - из сторон исходного; притом "внутри" нее а не "снаружи" и т.д.) - и так уже требуют чтобы мы умели определять порядок точек на отрезке, могли выбирать между внешних и внутренних углов и т.д.

[arseniiv]

manul91 в сообщении #1517968 писал(а):

А почему нужно ограничивать еще и только до "проективно инвариантных"?
Мы и так уже довольно сильно ограничены условий ТС по самое не могу.

Не, это у меня оффтоп на сходную тему просто. Его конечно лучше бы отделить… ну если кто-то захочет обсуждать, то начнём для этого новую тему. А например если есть одна разрешающая все вопросы ссылка, то тему начинать не придётся.

[manul91]

Предлагаю следующий способ "подсчета операций"/"шагов" (возможно, он совпадает с предлагаемым arseniiv выше).
1) Работаем со следующих "объектов" - прямых, точек и окружностей. Некоторые из них "исходно даны", другие строим в процессе построения.
2) Исходно нам даны следующие объекты (их строить не надо): три вершины исходного треугольника, три прямые проходящие через них, и шесть окружностей по две на каждую из вершин (с центром в одной из вершин и радиусом длины одной из прилежащих сторон треугольника); как и все точки пересечения данных линий (окружностей и прямых).
3) Операция/шаг: построение прямой через двух из уже существующих/найденных точек. Засчитывается за один "шаг".
4) Операция/шаг: построение окружности с центром в одной из существующих/найденных точек, и радиусом расстояние между двух из существующих/найденных точек (не обязательно чтобы одна из них была также и центром). Засчитывается за один "шаг".
5) Операции 3 и 4 автоматически прибавляют следующих объектов к копилку "уже найденных": новую построенную прямую (или окружность); плюс все точки ее пересечения с уже существующих/найденных линий (окружностей и прямых).
6) Подразумевается что у нас есть уникальные имена для всех существующих/найденных объектов.
7) Произвольный выбор (из существующих точек/объектов при операций 3 и 4) разрешен, если из него не зависит итоговый вписанный треугольник. "Выбор" за шагом не считается.
8) Также в ходе алгоритма: мы умеем отличать порядок точек на прямой, совпадение точек, лежит ли точка на какую-то линию (окружности или прямую) или внутри какого-то отрезка, "меньший" и "больший" из двух углов (или то что они равны), совпадают ли или нет какие-то линии, лежит ли точка "внутри" или "снаружи" какой-то окружности, внутри или снаружи исходного треугольника и так далее. Все это за "шагами" не считается. Например мы можем говорить "на следующем шаге строим окружность O1 с центром в М и радиусом MP, она пересекает найденную прямую L в точек P1 и P2 пусть P1 та точка которая лежит внутри исходного треугольника...." и потом строим чего-нибудь что выбирает одну из этих точек "... через точку P1 лежащей внутри исходного треугольника". Разумеется если мы ссылаемся на что-то, оно должно иметь место (т.е. можно было бы доказать независимо, что хотя бы одна из точек P1 или P2 должна оказаться внутри треугольника если мы это используем при выборе).
9) Достаточно найти вершин вписанного треугольника. Его сторон и прочих аттрибутов строить не надо : )
10) Когда алгоритм допускает возможно переменное количество шагов (в зависимости от исходого треугольника, и/или произвольности выбора по ходу алгоритма) - за "количеством шагов алгоритма" засчитывается наибольшее количество шагов которое может понадобиться.
Плюс выполнение других условий ТС: разносторонность исходного треугольника, каждая из точек вписанного должна лежать на одну (и только одну) из сторон исходного, разные точки вписанного должны лежать на разных сторон исходного, все построения должны опираться на исходного треугольника, и не имеем право выбирать "внешних произвольных параметров" из которых вписанный треугольник может оказаться разным при одинаковым исходным и т.д.
Будем считать алгоритм "допустимым" если он дает допустимого построения вписанного хотя бы для какого-нибудь исходного треугольника. Т.е. то что какие-то алгоритмы могут "вырождаться" (в случае прямоугольного, или тупоугольного исходного и т.д.) нас не смущает.

Как иллюстрация:
- для нахождения центра описанной окружности O достаточно двух шагов (провести двух серединных перпендикуляров через точек пересечения соответных окружностей которые исходно даны по 2) - точка их пересечения и есть O. Аналогично и для ортоцентра.
- для нахождения наименьшей стороны были бы необходимы три шага (наихудший случай); однако из-за того что все нужные исходные окружности и точки уже даны по 2, на самом деле это 0 шагов.

Я несколько не уверен что по 2 нужно считать и окружностей в вершин исходного уже построенными - но посчитал что это логично, раз мы считаем что прямые через вершин треугольника тоже построены (стороны исходного треугольника строить ненужно); таким образом окружности и прямые (все линии) у нас как бы на одинаковых правах.

-- 10.05.2021, 17:52 --

arseniiv в сообщении #1517980 писал(а):

А например если есть одна разрешающая все вопросы ссылка, то тему начинать не придётся.

Могу только сказать что моя интуиция говорит что такого ограничения нельзя добиться через "ограничений операций с циркулем" а если его наглухо забрать, то нам практически ничего не останется: )
Также как например и ограничение что "разные вершины вписанного должны лежать на разных сторон исходного", оно должно быть введено как требование "априори"... если мы этого хотим. Но при этом мы потеряем весь класс оригинальных/интересных "не непрерывных" построений... так что не стоит : )

[TR63]

manul91, постараюсь (на пальцах) объяснить, почему все вершины вписанного треугольника должны искаться одним "алгоритмом" (т.е. четырьмя "шагами").
Рассмотрим $F(a;b;c)$ однородный циклический "оператор". Конкретно (для примера)-однородный циклический многочлен степени $n>1$ с одной переменой знака, $(a,b,c)>0$, $F(a;a;a)=F_1$, $F(a;a;c)=F_2$, $F(a;b;c)=F_3$. Поставим в соответствие каждому $F_i$ знак $(+)$, если положительный корень существует и знак $(-)$, если не существует (на достаточном для исследования интервале, чтобы выполнялось неравенство $F(a;b;c)\ge0$ во всей области определения).

Рассмотрим задачу.

Для монотонной (по количеству равных переменных) последовательности $\{F_1;F_2;F_3\}$ известны два из трёх знаков соответствия. При каких условиях третий знак можно предсказать автоматом (не решая задачи аналитически).
Я предполагаю следующие условия:
1). Не существует комбинаций $(+;+;+)$, $(-;-;-)$
2). Если последовательность $\{F_1;F_2;F_3\}$ разделить на два непересекающихся класса (монотонность должна сохраняться), то, при известных первых двух знаках соответсивия, третий знак получается автоматом (экстраполяцией второго знака).
Т.е. получим два вида комбинаций: существующие и несуществующие (выбираются те из них, где сохранена монотонность; например, не выбирается $\{F_2;F_3;F_1\}$).
1). Существующие $\{+/-;-\}$, $\{+/+;-\}$, $\{-/-;+\}$, $\{-/+;+\}$
2). Несуществующие $\{+/+;+\}$, $\{-/-;-\}$, $\{+/-;+\}$, $\{-/+;-\}$
Требуется привести контрпримеры к второму виду комбинаций.

Аналогичную задачу я рассматриваю для треугольников. Только рассматриваю другие свойства, задаваемые циркулем и линейкой (вместо "сложения" и "умножения" для однородных циклических многочленов; для нециклических есть контрпример, поэтому ввожу требование цикличности "алгоритма", т.е. каждая вершина должна рассчитываться четырьмя "шагами").
В качестве примера можно рассмотреть задачу о свойстве (пока гипотетическом) порождающего биссектрального угла (там получаются комбинации только первого вида).
Для исследования треугольников надо найти уникальную последовательность из трёх "алгоритмом" вписывания треугольника в треугольник. Я предположила, что, возможно, это последовательность (биссектральных, высотных, медианных) "алгоритмов", т.к. для них известна комбинация $(+/-,-)$. Она монотонна по количеству затраченных разрешённых "шагов": $(4,4,4)$.
Остаётся выяснить, существуют ли условия, делающие её уникальной.
manul91, если Вам сложно привести чертёж к своему примеру (контрпримеру? ещё не поняла), возможно, wrest поможет. У него это хорошо получается.
arseniiv, этот пост можно считать ответом, думаю, и на Ваш вопрос: откуда растут ноги у интересующего меня вопроса.

[manul91]

TR63 в сообщении #1518101 писал(а):

manul91, если Вам сложно привести чертёж к своему примеру (контрпримеру? ещё не поняла), возможно, wrest поможет. У него это хорошо получается.

TR63, примерное построение насчет которого нет ясноты относно "все вершины должны искаться одним алгоритмом", описано в этом сообщении: post1517641.html#p1517641 (в шесть "этапов")
Чертежей не нужно, там все просто и понятно (строятся три серединных перпендикуляра на сторон исходного, потом через точку О описанной в которой они пересекаются - строятся прямые через вершин исходного и получаем вершин вписанного).
Это не "пример" и не "контрпример" - а о том, что непонятно как строго формализовать "все вершины должны искаться одним алгоритмом".
И другим участникам похоже тоже непонятно, поскольку никто ничего не предложил.

TR63 в сообщении #1518101 писал(а):

поэтому ввожу требование цикличности "алгоритма", т.е. каждая вершина должна рассчитываться четырьмя "шагами"

Непонятно причем здесь связка "т.е." (то есть). "Цикличность алгоритма" и "четыре шага на вершину" разные вещи независимо оттого что подразумевается под "цикличностью алгоритма" (и "цикличность алгоритма" - это одно и то же с "все вершины должны искаться одним алгоритмом" или нет?)

manul91 в сообщении #1518137 писал(а):

возможно, это последовательность (биссектральных, высотных, медианных) "алгоритмов", т.к. для них известна комбинация $(+/-,-)$. Она монотонна по количеству затраченных разрешённых "шагов": $(4,4,4)$.

Для высотных и медианных достаточно по 3 шагов "на вершину" - и вы с этим вроде были согласны. Только для биссектрального нужны по 4 "на вершину" (никто не привел меньше с ""все вершины должны искаться одним алгоритмом"). Так причем здесь $(4,4,4)$ для (биссектральных, высотных, медианных)? Делаем по одного "лишнего" шага на медианных и высотных, "чтобы было"?

[wrest]

manul91 в сообщении #1518137 писал(а):

И другим участникам похоже тоже непонятно, поскольку никто ничего не предложил.

Почему, мне всё ясно. Если у вас шесть подготовительных операций (по нахождению центра описанной окружности), и потом три завершающих на весь треугольник, то на одну вершину приходится семь операций.

Считайте, что после построения первой вершины "вписанного" треугольника, всё построение стирается кроме этой вершины, и в дальнейшим её использовать нельзя при построениях нельзя.

Можете также считать, что вам дано три одинаковых исходных треугольника но на трёх разных листах бумаги, и одинаковые стороны помечены (допустим красный-синий-зеленый), вам надо на одном листе построить одну точку вписанного (скажем, на "красной" стороне исходного треугольника), на втором - другую (на "синей") и на третьем - оставшуюся (на "зеленой" стороне).

[manul91]

wrest в сообщении #1518140 писал(а):

Можете также считать, что вам дано три одинаковых исходных треугольника но на трёх разных листах бумаги, и одинаковые стороны помечены (допустим красный-синий-зеленый), вам надо на одном листе построить одну точку вписанного (скажем, на "красной" стороне исходного треугольника), на втором - другую (на "синей") и на третьем - оставшуюся (на "зеленой" стороне).

Но тогда (если построения на каждом листе нельзя использовать на другом) - нет механизма доказать что я построил трех разных вершин вписанного, а не например три раза одну и ту же.
Нужен механизм чтобы наперед установить попарное соответствие сторон треугольников на трех разных листов - а как это сделать, если построения на трех листов не могут быть связанными?

manul91 в сообщении #1518143 писал(а):

Считайте, что после построения первой вершины "вписанного" треугольника, всё построение стирается кроме этой вершины, и в дальнейшим её использовать нельзя при построениях нельзя.

Ее нужно будет использовать хотя бы чтобы показать, что на следующем построении мы строим другую вершину а не уже построенную - разве нет?

-- 11.05.2021, 19:19 --

Хотя, этого наверно можно обойти так: уже построенную вершину "разрешено" использовать в рассуждениями, но не и в построениями...

-- 11.05.2021, 19:35 --

wrest, с тем что вы предлагаете, похоже формально все в порядке. (наверно, все-таки нужно еще и уточнить как будем определять "одинаковость" соответных шагов в последовательности - т.е. "одни и те же суб-алгоритмы на каждую вершину вписанного использованы", или нет).

Хотя на идейном уровне как-то странно.
Например, если полный алгоритм для медианного треугольника "переделать" так: вместо того чтобы делать последовательно по трех операций на каждой из сторон чтобы найти соответную вершину - сделать сперва первую окружность из тройки для первой вершины, потом первую окружность из тройки для второй вершины, потом первую окружность из тройки для третьей вершины, потом аналогичным образом вторые окружности для каждой из вершин, потом провести первого серединного перпендикуляра находя первую вершину вписанного, потом провести второго серединного перпендикуляра находя вторую вершину вписанного, наконец провести третьего серединного перпендикуляра находя третью вершину вписанного.
"Итоговый алгоритм" с такой последовательностью - с одной сторон как бы эквивалентен исходного (ибо мы только разместили порядок "несвязанных" логически операций).
С другой стороны, он уже не годится в "допустимых" по вашему определению так как после построения первой вершины - потеряем прежние построения которые нужны для следующих (либо чтобы остался допустимым - его надо переделать ненужно увеличив количество шагов).

Остается узнать согласен ли ТС с этим...