Построение теории вероятностей на основе некоторых ожиданий

[arseniiv]

Есть вот такой вывод соотношений насчёт вероятности событий на основе набора постулатов о том, чему должна бы удовлетворять некоторая «мера правдоподобности» утверждений. Там используется классическая логика, а что будет, если перейти к интуиционистской? Мы уже например не сможем сделать вывода, что $f$, упоминаемая по ссылке, инволюция, но только что $f(f(x)) \geqslant x$ (если не при имеющихся постулатах, то при дополненных чем-то вроде «если $\vDash A\to B$, то $A\mid X \leqslant B\mid X$», что вроде бы осмысленно ожидать). Какую свободу мы получим по сравнению с обычными свойствами вероятности? Сможем ли мы избавиться от неё добавлением достаточно ожидаемых постулатов о мере правдоподобности?

Я думаю, люди об этом уже задумывались, но особо не искал ссылки. Если у кого-то есть, спасибо.

[Утундрий]

Ѣ

[arseniiv]

Да, забыл вставить.

[mihaild]

Есть альтернативный способ получения такого же подхода к вероятностям - берем все возможные модели классической логики (т.е. функции из переменных в $\mathbb B$), вводим на них вероятностную меру (на сигма-алгебре, порожденной коконечномерными цилиндрами) - это делает булевы формулы случайными величинами и превращает правдоподобность в обычную вероятность с понятным вероятностным пространством.
Кажется, что если вместо моделей классической логики взять модели Крипке, то получится "правдоподобие", "согласованное" с интуиционистской логикой.

[arseniiv]

Кстати я пытался несколько лет назад один раз провернуть такую конструкцию с классической логикой, но без особых знаний в том, как её провернуть в точности, и с другой целью (разбирательства с информационными величинами), но потом понял, что должен получиться самый обычный теорвер и перестал что-то делать, раз выходило уже известное описание.

[arseniiv]

Я вернулся к этой теме и пытаюсь объять, как можно было бы построить эту штуку, в частности цилиндры. Может просто взять модели Крипке для конечных подмножеств переменных — но тогда надо придумать, что они будут говорить про формулы с остальными переменными. Если мы будем рисовать цилиндры на основании того, что конечное множество переменных верны и не верны на модели целиком, то вроде мы получим что-то классическое. Если вместо переменных брать формулы, то наверно это то, что вы имели в виду; в булевом случае разницы-то между ними никакой, и я не сразу подумал о такой возможности.

В короткой статье Weatherson, From classical to intuitionistic probability автор предлагает между делом осмыслять аксиоматически введённую функцию вероятности как получаемую из ограниченной меры на какой-нибудь одной модели Крипке; вероятность любой формулы будет там мерой множества миров модели, в которых формула верна. Я думал как-то обобщить эту конструкцию на все модели разом и пока не сдвинулся.

(Аксиомы предлагаются такие для произвольной логики с выводимостью $\vdash$: (P0) если $X \vdash Y$ для всех $Y$, то $P(X) = 0$; (P1) если $\vdash X$, то $P(X) = 1$; (P2) если $X \vdash Y$, то $P(X) \leqslant P(Y)$; (P3) $P(X) + P(Y) = P(X \vee Y) + P(X \wedge Y)$. Я так подумал, и они вроде даже к минимальной логике с тем пониманием меры на одной модели Крипке подходят (для минимальной логики $\bot$ интерпретируется просто как очередная переменная и не требуется, чтобы оно не выполнялось в каждом мире).)

Ещё интересно, можно ли перейти к логикам первого порядка. Для случая одной модели Крипке, как понимаю, надо просто сделать классические модели в каждом из миров вероятностными пространствами, с соответствующим требованием расширения друг друга при переходе от мира к какому-нибудь следующему из него. Но может там ещё что-то понадобится?

И может быть действительно хватит для задания каждого вероятностного пространства и одной произвольной шкалы, если учесть, что булевой алгебре на всём множестве переменных вроде соответствует целиком одна модель с мирами, соответствующими цилиндрам, где включение цилиндров — обращение следования миров. (Я ничего не напутал? Всё работает? Тогда будет по крайней мере и понятнее, как идти от этого назад в сторону произвольной модели Крипке.)

Короче интересно что скажете, один большой вопрос из всего этого как-то не конденсируется.

[alisa-lebovski]

А чем Вас не устраивает обычный теорвер?

[arseniiv]

В общем случае устраивает, но и просто интересно посмотреть на связь вероятности с неклассическими логиками, и в частности в связи с байесовским выводом. Я им как следует не интересовался, но слышал, что не очень хорошо, что приходится (используя обычный теорвер) иметь $P(A) = P(\overline A) = \frac 1 2 > 0$ для случая, когда у нас нет никаких свидетельств ни на счёт $A$, ни на счёт $\overline A$. Интуиционистская логика как раз позволяет нам иметь высказывания, для которых $A \vee \neg A$ не тождественная истина, так что реализации вероятности, тем или иным способом согласованные с этой логикой, должны по идее давать $P(A \cup \overline A) \leqslant 1$ и позволять нам присвоить вероятности как минимум меньше чем $\frac 1 2$ в байесовской ситуации выше. (В частности то, что позволяет Weatherson, позволяет, и его статья как раз в основном про байесовское — аргументы, что интуиционистская формулировка выдерживает больше критики, чем классическая, и сравнение с другой формализацией, которая ему не нравится, но я ничего не могу сказать на её счёт; я надеюсь, что только одна формулировка аксиом последует из какой-то единственной натуральной конструкции, и тогда уж всем будет очевидно, что она правильнее.)

[hurtsy]

arseniiv в сообщении #1518020 писал(а):

в частности в связи с байесовским выводом.

Байесовский вывод по определению Википедии

Цитата:

статистический вывод, в котором свидетельство и/или наблюдение используются, чтобы обновить или вновь вывести вероятность того, что гипотеза может быть верной; название байесовский происходит от частого использования в процессе вывода теоремы Байеса, которая была выведена из работ преподобного Томаса Байеса

Зачем же сразу "совершенствовать" теорию вероятности. Можно все это сотворить в рамках статистики.

[Sycamore]

Цитата:

статистический вывод, в котором свидетельство и/или наблюдение используются, чтобы обновить или вновь вывести вероятность

hurtsy в сообщении #1519306 писал(а):

Зачем же сразу "совершенствовать" теорию вероятности. Можно все это сотворить в рамках статистики.

безусловно - окромя (байесовской?) статистики иного источника для работающей/полезной теории вероятностей не может быть.

[hurtsy]

Sycamore в сообщении #1519373 писал(а):

безусловно - окромя (байесовской?) статистики иного источника для работающей/полезной теории вероятностей не может быть.

Что бы это значило(с позволения Weatherson) И как это связано с поисками ТС?

известный многим Вовочка писал(а):

Не знаешь, не подсказывай.

[Mihaylo]

arseniiv в сообщении #1518020 писал(а):

так что реализации вероятности, тем или иным способом согласованные с этой логикой, должны по идее давать $P(A \cup \overline A) \leqslant 1$ и позволять нам присвоить вероятности как минимум меньше чем $\frac 1 2$ в байесовской ситуации выше.

Если есть информация об $A$, $\overline A$ и о чем-то третьем $T$ и никакой больше информации, то вероятности $P(A) = P(\overline A) = P(T) = \frac 1 3 \leqslant \frac 1 2$. Если же известна еще какая-то информация о $T$, то тогда будут какие-то иные расчеты. Надо точнее формулировать задачу, от этого сильно все зависит.

[Harris Starks]

As per weatherson's short article, from classical to intuitionistic probability, the author proposes to meanwhile to comprehend an axiomatically introduced probability function as derived from a limited measure on anyone Kripke model; the probability of any formula will be there a measure of the set of worlds of the model in which the formula is correct.
However there is an elective method to get a similar way to deal with probabilities - we take all potential models of classical logic, we present a probabilistic measure on them - this makes boolean formulas random variables and turns plausibility into an ordinary probability with a clear probabilistic space. It appears to be that in the event that you take Kripke models rather than classical logic models, you will get "possibility", "concurred" with intuitionist rationale.
In connection with the bayesian’s conclusion; A statistical inference in which evidence and/or observation is used to update or re-reduce the probability that the hypothesis may be correct.