2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 22:43 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Для меня – исходный, чтобы решить его мне понадобилось рассмотреть натуральные решения отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 22:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А мне они кажутся примерно одинаковыми. И тот, где натуральные только, даже немного поинтересней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение08.05.2021, 23:08 


20/04/10
1776
lel0lel в сообщении #1517552 писал(а):
$d=4x^2y^2+2xy-2ax+1$

Если набраться терпения, то в этом подходе также можно получить неулучшаемую оценку. Надо проверять, что $d$ не равно $(2xy\pm 1)^2$, $(2xy\pm 3)^2, (2xy\pm 5)^2,\ldots$, пока не найдём подходящий вариант, а затем написать оценку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение09.05.2021, 03:22 


20/04/10
1776
lel0lel в сообщении #1517552 писал(а):
а именно в первое слагаемое $8x^4=4x^2\cdot(2x^2)=4x^2y^2+4x^2+2x(y+a)$. Тогда $d=4x^2y^2+2xy-2ax+1$.
Пока улучшал оценку нашёл у себя ошибку. Должно быть $d=(2xy+1)^2$, потому решение неверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение09.05.2021, 12:30 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo
Записал подробно Ваше решение для случая натуральных значений. По-моему, получилась неплохая задачка для какой-нибудь олимпиады.

Задача. Натуральные числа $x$, $y$ и $a$ таковы, что $$x(y^2-2x^2)+x+y+a=0.$$ Докажите, что $x \leqslant (3a+\sqrt{2a^2-28})/7$.

Решение. Действительно, $a=-x(y^2-2x^2)-x-y$, откуда $y^2-2x^2=-l$ для некоторого натурального $l$ и $a=(l-1)x-y$. При $l=1$ это невозможно. Если $l=2$, то $x \geqslant 2$ и тогда $$a=x-\sqrt{2x^2-2}<0.$$ Случай $l=3$ также невозможен, ибо $y^2-2x^2 \not\equiv -3 \pmod{8}$. Итак, $l \geqslant 4$, поэтому $$a=(l-1)x-\sqrt{2x^2-l} \geqslant 3x-\sqrt{2x^2-4},
\eqno(*)$$ при этом $x \geqslant 2$. Функция $f(x)=3x-\sqrt{2x^2-4}$ возрастает при $x \geqslant 2$. В частности, $a \geqslant 4$ и неравенство $(*)$ равносильно неравенству $$x \leqslant \frac{3a+\sqrt{2a^2-28}}{7},$$ что и требовалось.

Upd. Для уравнения $x(y^2-2x^2)+y^2+y+a=0$ также работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кубическое уравнение с параметром
Сообщение10.05.2021, 13:17 
Аватара пользователя


23/12/18
430
nnosipov в сообщении #1517725 писал(а):
Записал подробно Ваше решение для случая натуральных значений

Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group