Доказать, что функция дифференцируема

[VoprosT]

Дана функция $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причём $f$ непрерывна в $0$.

Известно, что $\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(\frac{x}{2})}{x} = a$. Требуется найти производную в $x=0$.

Я начал так:
$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(\frac{x}{2})}{x} + \lim\limits_{x\to0}\frac{f(\frac{x}{2}) - f(0)}{x} = \\ a + \frac{1}{2} \cdot \lim\limits_{x\to0}\frac{f(\frac{x}{2}) - f(\frac{x}{4})}{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2}\lim\limits_{x\to0}\frac{f(\frac{x}{4}) - f(0)}{\frac{x}{2}} = a + \frac{a}{2} + ...$
И видно, что если повторять этот процесс до бесконечности, то получается геом. прогрессия, сумма которой есть $2a$, чутьё подсказывает, что это правильный ответ, однако в моих рассуждениях не пропадает пресловутое $f(0)$, что можно сделать?

[alisa-lebovski]

Если во втором слагаемом второй части цепи равенств сделать замену $y=x/2$, то сразу все получается.

[VoprosT]

alisa-lebovski в сообщении #1517546 писал(а):

Если во втором слагаемом второй части цепи равенств сделать замену $y=x/2$, то сразу все получается.

Хм, но я её и так сделал мысленно, я ведь там получил слагаемое $\frac{1}{2}\cdot a$, однако эта замена не спасёт от $f(0)$

[alisa-lebovski]

$$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(\frac{x}{2})}{x} + \lim\limits_{x\to0}\frac{f(\frac{x}{2}) - f(0)}{x}=a+\frac{1}{2}f'(0).$$

[VoprosT]

alisa-lebovski в сообщении #1517553 писал(а):

$$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim\limits_{x\to0}\frac{f(x) - f(\frac{x}{2})}{x} + \lim\limits_{x\to0}\frac{f(\frac{x}{2}) - f(0)}{x}=a+\frac{1}{2}f'(0).$$

А, понял вас. Спасибо!

[Sender]

Если искомый предел существует, то его можно так найти. Осталось ответить на вопрос, вынесенный в заголовок темы.

[RIP]

Для удобства можно свести к случаю $a=0$, рассмотрев функцию $f(x)-2ax$. Дальше можно рассуждать, как в исходном посте. То есть оценить $f(x)-f(x/2^n)$ и перейти к пределу при $n\to\infty$.

[VoprosT]

RIP в сообщении #1517687 писал(а):

Для удобства можно свести к случаю $a=0$, рассмотрев функцию $f(x)-2ax$. Дальше можно рассуждать, как в исходном посте. То есть оценить $f(x)-f(x/2^n)$ и перейти к пределу при $n\to\infty$.

Надо показать, что функция монотонна и ограничена?

[RIP]

VoprosT в сообщении #1517694 писал(а):

Надо показать, что функция монотонна и ограничена?

Нет, неравенство $\lvert f(x)-f(x/2^n)\rvert<\varepsilon\lvert x\rvert$, если $|x|$ достаточно мало ($a=0$).