Перемешанные множества

[Padawan]

Возможно было.
Построить на отрезке $[0,1]$ два непересекающихся измеримых по Лебегу множества $A_1,A_2\subset [0,1]$ такие, что $\mu(A_1)+\mu(A_2)=1$ и для любого интервала $(a,b)\subset [0,1]$ выполнено $\mu(A_i\cap (a,b))>0$ для всех $i=1,2$.

[mihaild]

Будем строить наши множества, добавляя элементы, причем на каждом шаге они оба будут замкнуты и не будут иметь внутренних точек.
Пронумеруем все интервалы с рациональными концами. Возьмем очередной интервал, выкинем из него то, что уже содержится в $A_1$ и $A_2$ - останется множество с непустой внутренностью. В эту внутренность запихнем две непересекающихся уменьшенных копии замкнутых множеств положительной меры без внутренних точек, одну добавим в $A_1$, другую в $A_2$. Получили две возрастающие последовательности множеств, в качестве $A_i$ возьмем объединение соответствующей последовательности. Ну и добавим в $A_1$ всё что осталось.

[Padawan]

Да, проще чем у меня. Я взял канторово множество положительной меры, в каждом интервале его дополнения построил еще по канторову множеству, дополнения этих канторовых множеств (до интервалов, в которых они были построены) опять есть счетное объединение интервалов. В каждом из этих интервалов опять построил по канторову множеству. И так далее. За $A_1$ взял объединение канторовых множеств, построенных на нечетных шагах, за $A_2$ -- на чётных. Дальше несложно, но занудно показывается, что $A_1$ и $A_2$ обладают нужными свойствами. У Вас это сразу ясно.

[mihaild]

И я еще проще способ придумал - взять в качестве $A_1$ и $A_2$ открытое множество меры $\frac{1}{2}$, содержащее все рациональные точки.

[nnosipov]

mihaild в сообщении #1517330 писал(а):

взять в качестве $A_1$ и $A_2$ открытое множество меры $\frac{1}{2}$, содержащее все рациональные точки.

Так $A_1$ и $A_2$ не должны пересекаться.

[mihaild]

А, точно, при первом прочтении это увидел, сейчас показалось что про это забыли