2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перемешанные множества
Сообщение06.05.2021, 15:39 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Возможно было.
Построить на отрезке $[0,1]$ два непересекающихся измеримых по Лебегу множества $A_1,A_2\subset [0,1]$ такие, что $\mu(A_1)+\mu(A_2)=1$ и для любого интервала $(a,b)\subset [0,1]$ выполнено $\mu(A_i\cap (a,b))>0$ для всех $i=1,2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемешанные множества
Сообщение06.05.2021, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
Будем строить наши множества, добавляя элементы, причем на каждом шаге они оба будут замкнуты и не будут иметь внутренних точек.
Пронумеруем все интервалы с рациональными концами. Возьмем очередной интервал, выкинем из него то, что уже содержится в $A_1$ и $A_2$ - останется множество с непустой внутренностью. В эту внутренность запихнем две непересекающихся уменьшенных копии замкнутых множеств положительной меры без внутренних точек, одну добавим в $A_1$, другую в $A_2$. Получили две возрастающие последовательности множеств, в качестве $A_i$ возьмем объединение соответствующей последовательности. Ну и добавим в $A_1$ всё что осталось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемешанные множества
Сообщение07.05.2021, 12:11 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Да, проще чем у меня. Я взял канторово множество положительной меры, в каждом интервале его дополнения построил еще по канторову множеству, дополнения этих канторовых множеств (до интервалов, в которых они были построены) опять есть счетное объединение интервалов. В каждом из этих интервалов опять построил по канторову множеству. И так далее. За $A_1$ взял объединение канторовых множеств, построенных на нечетных шагах, за $A_2$ -- на чётных. Дальше несложно, но занудно показывается, что $A_1$ и $A_2$ обладают нужными свойствами. У Вас это сразу ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемешанные множества
Сообщение07.05.2021, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
И я еще проще способ придумал - взять в качестве $A_1$ и $A_2$ открытое множество меры $\frac{1}{2}$, содержащее все рациональные точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемешанные множества
Сообщение07.05.2021, 13:49 
Заслуженный участник


20/12/10
9107
mihaild в сообщении #1517330 писал(а):
взять в качестве $A_1$ и $A_2$ открытое множество меры $\frac{1}{2}$, содержащее все рациональные точки.
Так $A_1$ и $A_2$ не должны пересекаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемешанные множества
Сообщение07.05.2021, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
А, точно, при первом прочтении это увидел, сейчас показалось что про это забыли :facepalm:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group