Из двух хорд больше та, которая ближе к центру

[BVR]

дал в 7-м классе задачу: докажите, что из всех хорд, проходящих через внутреннюю точку круга, наименьшей является та, которая перпендикулярна диаметру, проведенному через эту точку.
дал эту задачу в задачник для 7-го класса (сдуру - знаю, же, что из Киселева задачи брать надо аккуратно, ибо можно попасть на трудную)
Пусть $O$ - центр окружности, $A$ - точка внутри. Хорда $CD$ - та, которая перпендикулярна диаметру $AO$. Если проведем другую хорду через точку $A$, то нетрудно даказать, что расстояние от нее до центра будет меньше, чем до хорды $CD$. То есть, нужно доказать, что из двух хорд короче та, что ближе к центру.
Что-то у меня не получается доказать, что если в двух прямоугольных треугольниках гипотенузы равны, а один катет меньше другого, то второй катет боьше другого.
Это 7-й класс и ни тригонометрию, ни теорему Пифагора применять нельзя.

-- Ср май 05, 2021 22:35:33 --

В Киселеве эта задача решается так: Сначала доказывается, что большая хорда ближе к центру, а обратно - от противного.
Но при доказательстве первого используется несколько теорем: если в двух треугольниках стороны равны, а угол между ними в одном треугольнике больше, то сторона лежащая против этого угла, тоже болше (чем в первом треугольнике). В Адамаре, тоже есть теорема про прямоугольные треугольники: если в прямоугольных треугольниках гипотенузы равны, а один из острых углов больше другого, то и катет лежащий против этого угла тоже больше.
Ну вот. А мне, вроде как немного другое надо - чтобы без углов.... И что-то по обратному пути провести нужные мне доказательства не получается.
В общем, длинновато и витиевато получается. Может кто-то подскажет боле простой подход...

[Sinoid]

BVR в сообщении #1517048 писал(а):

дал в 7-м классе задачу:

Вы преподаете, что ли?

BVR в сообщении #1517048 писал(а):

То есть, нужно доказать, что из двух хорд короче та, что ближе к центру.

А вообще без применения теоремы Пифагора я плохо представляю себе возможность простого решения этой задачи.

[BVR]

Так простого и нет. Но если идти по Киселеву, то очень длинно

[vpb]

Утверждение 1. Если есть два прямоугольных треугольника, в одном катеты $a$, $b$, гипотенуза $c$, в другом катеты $a'$, $b'$, гипотенуза $c'$, и если $a'=a$ и $b'>b$, то $c'>c$.

Действительно, возьмем прямой угол с вершиной $C$. На одной стороне угла отложим точку $A$ так, что $CA=a$, а на другой две точки $B$ и $B'$ так, что $CB=b$, $CB'=b'$. Тогда $B$ лежит внутри отрезка $CB'$. В треугольнике $ABB'$ угол $B$ --- тупой, значит сторона $AB'$ --- наибольшая. В частности, $AB'>AB$. Но $AB'=c'$, $AB=c$, т.е. получили $c'>c$. $\square$

Утверждение 2. Если $a,b,c$, $a',b',c'$ --- как в утверждении 1, $a'\geq a$ и $b'\geq b$, то $c'\geq c$, причем $c'=c$ только тогда, когда $a'=a$ и $b'=b$.

Доказательство. Если $a'=a$ или $b'=b$, можно применить предыдущее утверждение. Поэтому считаем, что $a'>a$, $b'>b$. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b'$, и пусть $c''$ --- его гипотенуза. Применяя предыдущее утверждение к паре треугольников $(a,b,c)$ и $(a,b',c'')$, видим, что $c''>c$. Аналогично, применяя его же к паре $(a,b',c'')$ и $(a',b',c')$, видим, что $c'>c''$. Значит $c'>c$. $\square$

Утверждение 3. Если есть два прямоугольных треугольника $(a,b,c)$, $(a',b',c)$ (с одной и той же гипотенузой), и если $a<a'$, то $b>b'$.

Доказательство от противного. Если $b\leq b'$, то $a<a'$, $b\leq b'$, значит $c<c$, противоречие. $\square$

А утверждение из Киселева, что если в двух треугольниках две пары соответственных сторон равны, то третья сторона больше в том, в котором угол между этими соответственными сторонами больше, для семиклассников слишком уж трудное, мне кажется. Хорошо будет, если они (некоторые из них) хотя бы поймут доказательство, но самим придумать --- едва ли.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Название темы: Из двух хорд больше та, которая ближе к центру


В сообщении:

BVR в сообщении #1517048 писал(а):

То есть, нужно доказать, что из двух хорд короче та, что ближе к центру.

[svv]

(Dan B-Yallay)

Короче, из двух хорд, короче, та, что ближе к центру — больше.

[Dan B-Yallay]

((svv))

Что-то сам я до этого не догадался.

[BVR]

vpb
Спасибо. Но тоже сложновато, хотя я же это для учителей пишу...

Dan B-Yallay
Это, конечно, очепятка :)

[TOTAL]

$ \\ AC>OC>DC \\ AB<OB<DB \\$
Используется то, что гипотенуза длиннее катета.

[Sinoid]

vpb в сообщении #1517084 писал(а):

В треугольнике $ABB'$ угол $B$ --- тупой, значит сторона $AB'$ --- наибольшая.

Это становится известным лишь в 9-ом классе.

-- 06.05.2021, 15:33 --

TOTAL в сообщении #1517144 писал(а):

Используется то, что гипотенуза длиннее катета.

Теорема Пифагора

BVR в сообщении #1517048 писал(а):

Это 7-й класс и ни тригонометрию, ни теорему Пифагора применять нельзя.

[kmpl]

Sinoid в сообщении #1517154 писал(а):

Это становится известным лишь в 9-ом классе.

7 класс, тема: "Соотношения между сторонами и углами треугольника". Можно посмотреть, например, в учебнике Атанасяна.

Sinoid в сообщении #1517154 писал(а):

TOTAL в сообщении #1517144 писал(а):

Используется то, что гипотенуза длиннее катета.

Теорема Пифагора

Используется не теорема Пифагора, а тот факт, что гипотенуза длиннее катета. Тоже 7 класс, следующая страница после основной теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

[Sinoid]

kmpl в сообщении #1517162 писал(а):

Sinoid в сообщении #1517154 писал(а):

Это становится известным лишь в 9-ом классе.

7 класс, тема: "Соотношения между сторонами и углами треугольника". Можно посмотреть, например, в учебнике Атанасяна.

Sinoid в сообщении #1517154 писал(а):

TOTAL в сообщении #1517144 писал(а):

Используется то, что гипотенуза длиннее катета.

Теорема Пифагора

Используется не теорема Пифагора, а тот факт, что гипотенуза длиннее катета. Тоже 7 класс, следующая страница после основной теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

А я учился по Погорелову, там не так.

[mihiv]

Если известно про подобные треугольники.
Хорда $CD$ делится точкой $A$ на два равных отрезка длины $l$. Другая хорда, проходящая через точку $A$ делится этой точкой на отрезки длиной $l_1, l_2$. Из подобия треугольников : $l^2=l_1l_2, l=\sqrt {l_1l_2}<\dfrac {l_1+l_2}2$, и $2l<l_1+l_2$.

[Sinoid]

mihiv в сообщении #1517205 писал(а):

Если известно про подобные треугольники.

9-ый класс.

-- 06.05.2021, 22:16 --

Да, еще и корни.

[lel0lel]

Поскольку у всякой хорды имеется перпендикулярный ей радиус, то, выполняя повороты хорд, в погоне за минимальностью длины, придём либо к диаметру, либо к внутренней точке, у которой минимальная хорда перпендикулярна радиусу. Правда и в этом случае должно быть известно, что минимальное расстояние от точки до прямой это длина перпендикуляра (катет короче гипотенузы). Иначе можно заключить, что в результате поворотов будем удаляться от центра. Совсем без метрических понятий не обойтись, ведь они есть в условии.