Машина едет по окружности.

[Freeman-des]

Здравствуйте! Есть такая задачка.
Машина поворачивает, т.е. едет по окружности с радиусом R. Пусть масса машины М, скорость ее центра масс V. Ширина машины L. В задаче дан диаметр колес D. В задаче предлагается вычислить коэффициент трения, при котором машина выполнит данный поворот, при этом спрашивается, необходимо ли рассчитывать коэффициенты трения для "внешних" и "внутренних" колес отдельно.

По теореме о центре масс: машина будет поворачивать в том случае, если сумма проекций сил трения, приложенных к колесам, на радиус, будет равна $\frac{V^2}{R}$, где R - это расстояние до центра масс от центра кривизны траектории, а V - скорость центра масс.

Вопрос в том, как эти силы должны быть распределены между колесами. В принципе, можно представить, что "внешние" колеса едут по льду, а "внутренние" - по асфальту, но если коэффициент трения будет достаточно высок, то трения "внутренних" колес будет достаточно. А "внешние" колеса будут двигаться по окружности за счет сил упругости, возникающих в осях.
Можно вычислять силы трения без учета сил упругости в осях. Тогда сила трения, действующая на колесо, будет прямо пропорциональна радиусу кривизны траектории, т.е. сила трения, действующая на "внешние" колеса, будет больше, чем сила трения, действующая на "внутренние". В это случае, минимальный коэффициент трения нужно рассчитать для "внешних" колес.

Я правильно размышляю?

[sergey zhukov]

Freeman-des
С машиной на повороте кое-что происходит, о чем вы тут не сказали. Как распределяются силы давления колес на землю, когда машина поворачивает?

[Freeman-des]

Не думаю, что это нужно учитывать.

[sergey zhukov]

Freeman-des
Тогда зачем дан диаметр колес?

[Freeman-des]

Я об этом тоже думал) А как учесть давление? У меня совсем идей нет на этот счет

[Dmitriy40]

Ещё будет забавно если $R=L/2$, тогда внутренние колёса не крутятся, лишь сдвигаются поперёк своей плоскости.
А если колёса могут поворачиваться до попадания на одну общую окружность (а такое может быть возможным для особо манёвренных машин со всеми поворотными колёсами), то $R$ может стать и нулевым ... И машина будет крутиться на месте.

[sergey zhukov]

Freeman-des
Представьте себе, что машина - это стол массы $M$ и шириной $L$ с четырьмя ножками. Высота его центра тяжести равна $D$. Стол поставили на карусель и крутят по окружности радиуса $R$ с окружной скоростью $U$. При этом стол стоит на карусели, не сьезжает и не опрокидывается. Найдите, как распределяются силы давления ножек стола на карусель. Возьмите $R > >L$

[Freeman-des]

Буду рассматривать стол на двух ножках
$N_1=\frac{Mg}{2}+\frac{MU^2}{RL}$ (дальняя от центра ножка)
$N_2=\frac{Mg}{2}-\frac{MU^2}{RL}$ (ближняя к центру ножка)

А как это связать с диаметром колеса? Это что-то говорит о высоте центра масс машины?

[sergey zhukov]

Freeman-des
Второе слагаемое у вас не имеет размерности силы.

[Freeman-des]

sergey zhukov в сообщении #1516848 писал(а):

Второе слагаемое у вас не имеет размерности силы.

D потерял.

$N_1=\frac{Mg}{2}+\frac{MU^2 D}{RL}$
$N_2=\frac{Mg}{2}-\frac{MU^2 D}{RL}$

Соответственно, если мы ищем минимальный коэффициент трения, способный обеспечить движение, то силы трения-покоя, действующие на колеса вдоль радиуса, будут равны своим максимальным значениям: $F_1=\mu ( \frac{Mg}{2}+\frac{MU^2 D}{RL})$, $F_2=\mu ( \frac{Mg}{2}-\frac{MU^2 D}{RL})$.

Как я сказал выше, центростремительная сила, приложенная к центру масс, должна быть равна сумме сил трения-покоя:
$M \frac{U^2}{R}=\mu ( \frac{Mg}{2}+\frac{MU^2 D}{RL})+\mu ( \frac{Mg}{2}-\frac{MU^2 D}{RL})
Откуда следует, что:
$M \frac{U^2}{R}=\mu g M$.

Таким образом, можно ответить на вопрос задачи: нет необходимости вычислять коэффициент трения для колес по-отдельности. Достаточно рассмотреть машину как материальную точку.

Я правильно рассуждаю? Правда, одна деталь мне осталась неясна. Как обосновать то, что силы трения-покоя, действующие на внешние и внутренние колеса, одновременно принимают свои максимальные значения? Ну и вопрос про диаметр колеса остается открытым.

[sergey zhukov]

Freeman-des
Ок.

В начале скольжения машины сила трения на обоих колесах должна принять максимальное значение. Иначе машина не будет скользить. Можно предположить, что на одном колесе сила трения становится максимальной быстрее, чем на другом. Все равно машина будет стоять без скольжения, пока они обе не достигнут максимума.

Насчет диаметра колеса. В задаче спрашивается, какой коэффициент трения обеспечит поворот машины. У вас получается, что машина может повернуть по любому малому радиусу с любой большой скоростью, имея достаточно высокий коэффициент трения. Так ли это?

[Freeman-des]

Если машина при этом не переворачивается, то почему бы и нет?

[Vladimir-80]

Freeman-des в сообщении #1516757 писал(а):

В принципе, можно представить, что "внешние" колеса едут по льду, а "внутренние" - по асфальту,

"Машину" надо бы описать подробней. Реальный автомобиль приводится в движение колёсами одной из осей, или обеими осями, в конструкции есть дифференциалы, которые перераспределяют моменты между осями и колёсами. В простейшем случае, стоя одной стороной на льду, машина никуда не поедет. Ведущее колесо будет буксовать на льду.

[sergey zhukov]

Freeman-des
Я думаю, это и есть ответ. Машина может повернуть при таком-то коэффициенте трения, а если скорость превышает предел (завитит от высоты цетра тяжести, т.е. от диаметра колес) - то не может повернуть ни при каком коэффициенте трения.

[Freeman-des]

sergey zhukov, спасибо! Да, уже позже понял, что вы имели в виду.