2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функция Гамильтона для мультиполей
Сообщение04.05.2021, 15:41 


09/06/20
21
Здравствуйте! Вопрос такой. Ф-я Гамильтона частицы в МП имеет вид $(\boldsymbol{p}-{\frac{e}{c}}\boldsymbol{A})^2 + e\varphi$, как она изменится если будет двигаться не частица, а диполь или квадруполь? Вероятно можно было бы ее вывести из действия для системы со связями, но тогда встает вопрос о слагаемом, отвечающим за взаимодействие с полем:
$$\int\limits_{a}^{b}A_i dx^i$$ - для точечной частицы оно получено эмпирически, и я не вижу возможности обобщить этот результат на мультиполь.
Поправьте если неправ или вопрос некорректный, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение04.05.2021, 16:10 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22917
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение04.05.2021, 17:25 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
22917
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гамильтона для мультиполей
Сообщение05.05.2021, 15:25 
Заслуженный участник


23/07/08
8778
Харьков
А что такое МП?
Это у Вас функция Гамильтона в нерелятивистском приближении, значит, для диполя Вы ищете тоже нерелятивистское?
В формуле (16.10) ЛЛ2 в первом слагаемом есть ещё множитель $\frac 1{2m}$.
Должен ли диполь иметь момент инерции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гамильтона для мультиполей
Сообщение05.05.2021, 20:02 


09/06/20
21
МП это я, конечно, описался, имел ввиду электромагнитное поле. Массу я для удобства 1/2 взял. Приближение действительно хотелось бы нерелятивисткое. Думаю что моментом инерции в моей задаче можно пренебречь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гамильтона для мультиполей
Сообщение05.05.2021, 22:04 
Заслуженный участник


23/07/08
8778
Харьков
А каким законом будет тогда определяться ориентация диполя (или её изменение)?
Не очень себе представляю такое сочетание: ненулевой момент пары сил $\mathbf M=\mathbf p\times\mathbf E$ (тут $\mathbf p$ — дипольный момент) и нулевой момент инерции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гамильтона для мультиполей
Сообщение06.05.2021, 11:01 


09/06/20
21
Да, вероятно вы правы, забивать на момент я поторопился(дело в том что в конечном итоге я все равно хотел оставить только магнитное поле). Предположим, что момент инерции диполя конечный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гамильтона для мультиполей
Сообщение08.05.2021, 19:58 
Заслуженный участник


23/07/08
8778
Харьков
Maxim Gritskov в сообщении #1517130 писал(а):
Предположим, что момент инерции диполя конечный.
Я только хотел обратить Ваше внимание на этот вопрос. Может быть, Вам больше подойдёт модель, в которой диполь всегда ориентирован по электрическому полю.
Maxim Gritskov в сообщении #1516714 писал(а):
Вероятно можно было бы ее вывести из действия для системы со связями, но тогда встает вопрос о слагаемом, отвечающим за взаимодействие с полем
Да, можно рассмотреть систему со связями, более того, это почти автоматически решает вопрос о слагаемых взаимодействия. Рассмотрим электрический диполь во внешнем ЭМ поле.

Сначала предположим, что диполь образован двумя точечными зарядами $q^+=q$ и $q^-=-q$ (где $q>0$). Вектор от отрицательного к положительному заряду обозначим $\mathbf a$. Радиус-вектор центра диполя $\mathbf r$. Координаты зарядов $\mathbf r^\pm=\mathbf r\pm\frac 1 2 \mathbf a$. Предполагать, что и масса сосредоточена в этих же точках, необязательно. Имеем голономную связь $a=|\mathbf a|=\operatorname{const}$. Слагаемые в лагранжиане, отвечающие за взаимодействие с внешним полем:
$\begin{array}{lcl}L_{\text{int}}&=&q^+ \mathbf A(\mathbf r^+)\cdot \mathbf v^+ -{q^+}\varphi(\mathbf r^+)\\&+& q^-  \mathbf A(\mathbf r^-)\cdot \mathbf v^- -{q^-}\varphi(\mathbf r^-)\end{array}$

Пусть $a$ мало. Разложим потенциалы в ряд в окрестности $\mathbf r$ до первой степени $a$. Ниже все полевые величины берутся в точке $\mathbf r$. Используем тензорные обозначения для декартовых компонент. Индексы пробегают значения $1,2,3$.
$\begin{array}{lclcl}L_{\text{int}}&=&q (A_i+\frac 12 A_{i,k}a_k)(v_i+\frac 12{\dot a}_i) &-&q(\varphi+\frac 12\varphi_{,i}a_i)\\[0.5ex]& -&q (A_i-\frac 12 A_{i,k}a_k)(v_i-\frac 12{\dot a}_i) &+&q(\varphi-\frac 12 \varphi_{,i}a_i)\\[0.5ex]&=&q (A_{i,k}a_k v_i+A_i {\dot a}_i -\varphi_{,i}a_i)\end{array}$
:!: $A_i$ — это декартовы компоненты трёхмерного вектора $\mathbf A$, а не пространственные ковариантные компоненты 4-потенциала.

Введём вектор дипольного момента $\boldsymbol{\boldsymbol{\mu}}=q\mathbf a=\mu\mathbf n$, где $\mathbf n$ — единичный вектор, задающий ориентацию диполя.
$L_{\text{int}}=\mu(A_{i,k}n_k v_i+A_i {\dot n}_i -\varphi_{,i}n_i)$
Теперь можно устремить $q\to \infty, a\to 0$ так, чтобы $\mu=qa$ осталось конечным, на формулу это уже не повлияет.

(Оффтоп)

Я долго искал для дипольного момента подходящее обозначение, ведь буквы $m$ и $p$ уже заняты.

Чтобы лагранжиан приобрел благообразный вид, вычтем из него вот такую полную производную по времени (что не повлияет на вариации действия и уравнения движения):
$\frac d{dt}(\mu A_k n_k)=\mu(\frac{dA_k}{dt}n_k+A_k {\dot n}_k)=\mu\left((\frac{\partial A_k}{\partial t}+A_{k,i}v_i)n_k+A_k {\dot n}_k\right)$
Получим
$\begin{array}{lcl}L_{\text{int}}&=&\mu\left((A_{i,k}-A_{k,i})v_i n_k+(-\varphi_{,k} - \frac{\partial A_k}{\partial t})n_k\right)\\[0.5ex]&=&\mu(\varepsilon_{ki\ell}B_\ell v_i n_k+E_k n_k)\;\;=\;\;\mu\mathbf n\cdot(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\end{array}$

Интересный результат. Скалярное произведение дипольного момента на силу Лоренца (действующую на единичный заряд).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group