Функция Гамильтона для мультиполей

[Maxim Gritskov]

Здравствуйте! Вопрос такой. Ф-я Гамильтона частицы в МП имеет вид $(\boldsymbol{p}-{\frac{e}{c}}\boldsymbol{A})^2 + e\varphi$, как она изменится если будет двигаться не частица, а диполь или квадруполь? Вероятно можно было бы ее вывести из действия для системы со связями, но тогда встает вопрос о слагаемом, отвечающим за взаимодействие с полем:

$$\int\limits_{a}^{b}A_i dx^i$$

- для точечной частицы оно получено эмпирически, и я не вижу возможности обобщить этот результат на мультиполь.
Поправьте если неправ или вопрос некорректный, спасибо!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопрос.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[svv]

А что такое МП?
Это у Вас функция Гамильтона в нерелятивистском приближении, значит, для диполя Вы ищете тоже нерелятивистское?
В формуле (16.10) ЛЛ2 в первом слагаемом есть ещё множитель $\frac 1{2m}$.
Должен ли диполь иметь момент инерции?

[Maxim Gritskov]

МП это я, конечно, описался, имел ввиду электромагнитное поле. Массу я для удобства 1/2 взял. Приближение действительно хотелось бы нерелятивисткое. Думаю что моментом инерции в моей задаче можно пренебречь.

[svv]

А каким законом будет тогда определяться ориентация диполя (или её изменение)?
Не очень себе представляю такое сочетание: ненулевой момент пары сил $\mathbf M=\mathbf p\times\mathbf E$ (тут $\mathbf p$ — дипольный момент) и нулевой момент инерции.

[Maxim Gritskov]

Да, вероятно вы правы, забивать на момент я поторопился(дело в том что в конечном итоге я все равно хотел оставить только магнитное поле). Предположим, что момент инерции диполя конечный.

[svv]

Maxim Gritskov в сообщении #1517130 писал(а):

Предположим, что момент инерции диполя конечный.

Я только хотел обратить Ваше внимание на этот вопрос. Может быть, Вам больше подойдёт модель, в которой диполь всегда ориентирован по электрическому полю.

Maxim Gritskov в сообщении #1516714 писал(а):

Вероятно можно было бы ее вывести из действия для системы со связями, но тогда встает вопрос о слагаемом, отвечающим за взаимодействие с полем

Да, можно рассмотреть систему со связями, более того, это почти автоматически решает вопрос о слагаемых взаимодействия. Рассмотрим электрический диполь во внешнем ЭМ поле.

Сначала предположим, что диполь образован двумя точечными зарядами $q^+=q$ и $q^-=-q$ (где $q>0$). Вектор от отрицательного к положительному заряду обозначим $\mathbf a$. Радиус-вектор центра диполя $\mathbf r$. Координаты зарядов $\mathbf r^\pm=\mathbf r\pm\frac 1 2 \mathbf a$. Предполагать, что и масса сосредоточена в этих же точках, необязательно. Имеем голономную связь $a=|\mathbf a|=\operatorname{const}$. Слагаемые в лагранжиане, отвечающие за взаимодействие с внешним полем:
$\begin{array}{lcl}L_{\text{int}}&=&q^+ \mathbf A(\mathbf r^+)\cdot \mathbf v^+ -{q^+}\varphi(\mathbf r^+)\\&+& q^- \mathbf A(\mathbf r^-)\cdot \mathbf v^- -{q^-}\varphi(\mathbf r^-)\end{array}$

Пусть $a$ мало. Разложим потенциалы в ряд в окрестности $\mathbf r$ до первой степени $a$. Ниже все полевые величины берутся в точке $\mathbf r$. Используем тензорные обозначения для декартовых компонент. Индексы пробегают значения $1,2,3$.
$\begin{array}{lclcl}L_{\text{int}}&=&q (A_i+\frac 12 A_{i,k}a_k)(v_i+\frac 12{\dot a}_i) &-&q(\varphi+\frac 12\varphi_{,i}a_i)\\[0.5ex]& -&q (A_i-\frac 12 A_{i,k}a_k)(v_i-\frac 12{\dot a}_i) &+&q(\varphi-\frac 12 \varphi_{,i}a_i)\\[0.5ex]&=&q (A_{i,k}a_k v_i+A_i {\dot a}_i -\varphi_{,i}a_i)\end{array}$
$A_i$ — это декартовы компоненты трёхмерного вектора $\mathbf A$, а не пространственные ковариантные компоненты 4-потенциала.

Введём вектор дипольного момента $\boldsymbol{\boldsymbol{\mu}}=q\mathbf a=\mu\mathbf n$, где $\mathbf n$ — единичный вектор, задающий ориентацию диполя.
$L_{\text{int}}=\mu(A_{i,k}n_k v_i+A_i {\dot n}_i -\varphi_{,i}n_i)$
Теперь можно устремить $q\to \infty, a\to 0$ так, чтобы $\mu=qa$ осталось конечным, на формулу это уже не повлияет.

(Оффтоп)

Я долго искал для дипольного момента подходящее обозначение, ведь буквы $m$ и $p$ уже заняты.

Чтобы лагранжиан приобрел благообразный вид, вычтем из него вот такую полную производную по времени (что не повлияет на вариации действия и уравнения движения):
$\frac d{dt}(\mu A_k n_k)=\mu(\frac{dA_k}{dt}n_k+A_k {\dot n}_k)=\mu\left((\frac{\partial A_k}{\partial t}+A_{k,i}v_i)n_k+A_k {\dot n}_k\right)$
Получим
$\begin{array}{lcl}L_{\text{int}}&=&\mu\left((A_{i,k}-A_{k,i})v_i n_k+(-\varphi_{,k} - \frac{\partial A_k}{\partial t})n_k\right)\\[0.5ex]&=&\mu(\varepsilon_{ki\ell}B_\ell v_i n_k+E_k n_k)\;\;=\;\;\mu\mathbf n\cdot(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\end{array}$

Интересный результат. Скалярное произведение дипольного момента на силу Лоренца (действующую на единичный заряд).

[Maxim Gritskov]

Спасибо большое!