Решаю следующую задачу.
На отрезок
произвольно бросаются две точки, после этого они начинают двигаться друг навстречу другу, причём точка, упавшая левее, движется со скоростью в 4 раза меньшей, чем другая. Найдите математическое ожидание координаты их места встречи.
Мой ход решения.
- кооордината точки №1,
- кооордината точки №2.
Пользуясь графическим методом (строим квадрат со стороной 1, как множество всех возможных пар
, выделяем графически интересующее нас подмножество и оцениваем какую долю площади оно занимает от общей площади квадрата), построил функции распределения и плотности вероятности для следующих непрерывных случайных величин (НСВ) на отрезке
:
1. НСВ
"координата левой точки" (учитываются оба случая, когда слева оказалась точка №1 и когда точка №2):
- функция распределения,
- функция плотности вероятности.
2. НСВ
"координата правой точки" (учитываются оба случая, когда справа оказалась точка №1 и когда точка №2):
,
.
3. НСВ
"расстояние между точками":
,
.
Далее необходимо как-то перейти к НСВ
"координата точки встречи", которая по идее однозначно определяется из значений
и
(либо из
и
) по формуле
. С этим переходом у меня возникли сложности. Прошу помощи.
Подскажите,
1) правильный ли изложенный ход решения ?
2) Как правильно построить функцию плотности вероятности для НСВ
на основе определенных выше НСВ? Идет ли здесь речь о двумерной НСВ, использовании двойных интегралов? Если можно этот момент поподробнее.
Зная функцию плотности вероятности, вычислить искомое мат. ожидание стандартно для НСВ через интеграл по идее не составит труда.
P.S.: прошу извинить, если оформление хромает. я тут первый раз, только учусь...