2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разбегающиеся концы медиан
Сообщение02.05.2021, 23:26 


02/05/21
3
Новая задача, красивого и простого решения которой пока нет:

В произвольном треугольнике АВС провели медианы (концы медиан обозначим A', B', C').
Точки A', B', C' одновременно начали двигаться перпендикулярно сторонам, на которых стояли, со скоростями, пропорциональными длине этих сторон. Доказать, что в любой момент времени прямые AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке.

http://vladimirk.ru/t/treug_perp.gif

(по непонятной причине в тегах Img эта картинка тут не отображается...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбегающиеся концы медиан
Сообщение03.05.2021, 18:48 
Аватара пользователя


11/06/12
9715
лучший.магия.интрига
На картинке треугольник прямоугольный, в условии — произвольный. Это картинка небрежно сделана или в условии опечатка?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбегающиеся концы медиан
Сообщение03.05.2021, 19:30 
Заслуженный участник


20/12/10
7882
Опечатки в условии нет, но ТС забыл указать, что все три точки должны двигаться либо во внешность треугольника, либо в его внутренность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбегающиеся концы медиан
Сообщение03.05.2021, 19:41 


02/05/21
3
Aritaborian в сообщении #1516560 писал(а):
На картинке треугольник прямоугольный


Произвольный треугольник может быть каким угодно, в т.ч. прямоугольным, пуркуа бы и не па )

Цитата:
ТС забыл указать, что все три точки должны двигаться либо во внешность треугольника, либо в его внутренность.


Да, конечно.
Весьма любопытно, что эта задача некиим образом объединяет медианы с высотами, ибо при бесконечном удалении точек все три прямые превращаются в высоты.

Никак не могу найти сколь-нибудь простого геометрического доказательства... Долгий и муторный алгебраический путь в принципе понятен, но им и идти не хочется, в нем нет красоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбегающиеся концы медиан
Сообщение03.05.2021, 19:46 
Заслуженный участник


20/12/10
7882
kirilych в сообщении #1516573 писал(а):
Долгий и муторный алгебраический путь в принципе понятен
Ну конечно, долгий: целая минута.

А предельная точка действительно ортоцентр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбегающиеся концы медиан
Сообщение04.05.2021, 12:53 
Заслуженный участник


20/12/10
7882
Несколько сопутствующих вопросов.

Будем считать треугольник $ABC$ неравнобедренным. Пусть $P=P(t)$ --- общая точка указанных прямых в момент времени $t$ ($-\infty<t<+\infty$). По какой траектории движется точка $P$? Докажите, что в процессе движения точка $P$ посетит все вершины треугольника $ABC$, его центр тяжести $G$ (само собой) и его ортоцентр $H$ (в пределе при $t \to \pm \infty$). Попадет ли когда-нибудь точка $P$ в центр описанной окружности $O$ треугольника $ABC$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбегающиеся концы медиан
Сообщение05.05.2021, 20:40 


02/05/21
3
nnosipov писал(а):
посетит все вершины треугольника


Хорошие вопросы, только не понял процитированного момента... Вовсе не посетит всех вершин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбегающиеся концы медиан
Сообщение05.05.2021, 20:46 
Заслуженный участник


20/12/10
7882
kirilych в сообщении #1517063 писал(а):
Вовсе не посетит всех вершин
Посетит. Время может быть и отрицательным.

Да, забыл добавить: точка $P$ еще пару раз улетит на бесконечность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбегающиеся концы медиан
Сообщение07.05.2021, 18:16 
Заслуженный участник


10/01/16
2285
kirilych в сообщении #1516573 писал(а):
Никак не могу найти сколь-нибудь простого геометрического доказательства..

Ну, не очень долгий - по теореме Чевы, например: она прям на такие задачи и заточена...Только надо будет работать с ориентированными отрезками - для обчей ситуции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group