Разбегающиеся концы медиан

[kirilych]

Новая задача, красивого и простого решения которой пока нет:

В произвольном треугольнике АВС провели медианы (концы медиан обозначим A', B', C').
Точки A', B', C' одновременно начали двигаться перпендикулярно сторонам, на которых стояли, со скоростями, пропорциональными длине этих сторон. Доказать, что в любой момент времени прямые AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке.

http://vladimirk.ru/t/treug_perp.gif

(по непонятной причине в тегах Img эта картинка тут не отображается...)

[Aritaborian]

На картинке треугольник прямоугольный, в условии — произвольный. Это картинка небрежно сделана или в условии опечатка?

[nnosipov]

Опечатки в условии нет, но ТС забыл указать, что все три точки должны двигаться либо во внешность треугольника, либо в его внутренность.

[kirilych]

Aritaborian в сообщении #1516560 писал(а):

На картинке треугольник прямоугольный

Произвольный треугольник может быть каким угодно, в т.ч. прямоугольным, пуркуа бы и не па )

Цитата:

ТС забыл указать, что все три точки должны двигаться либо во внешность треугольника, либо в его внутренность.

Да, конечно.
Весьма любопытно, что эта задача некиим образом объединяет медианы с высотами, ибо при бесконечном удалении точек все три прямые превращаются в высоты.

Никак не могу найти сколь-нибудь простого геометрического доказательства... Долгий и муторный алгебраический путь в принципе понятен, но им и идти не хочется, в нем нет красоты.

[nnosipov]

kirilych в сообщении #1516573 писал(а):

Долгий и муторный алгебраический путь в принципе понятен

Ну конечно, долгий: целая минута.

А предельная точка действительно ортоцентр.

[nnosipov]

Несколько сопутствующих вопросов.

Будем считать треугольник $ABC$ неравнобедренным. Пусть $P=P(t)$ --- общая точка указанных прямых в момент времени $t$ ($-\infty<t<+\infty$). По какой траектории движется точка $P$? Докажите, что в процессе движения точка $P$ посетит все вершины треугольника $ABC$, его центр тяжести $G$ (само собой) и его ортоцентр $H$ (в пределе при $t \to \pm \infty$). Попадет ли когда-нибудь точка $P$ в центр описанной окружности $O$ треугольника $ABC$?

[kirilych]

nnosipov писал(а):

посетит все вершины треугольника

Хорошие вопросы, только не понял процитированного момента... Вовсе не посетит всех вершин.

[nnosipov]

kirilych в сообщении #1517063 писал(а):

Вовсе не посетит всех вершин

Посетит. Время может быть и отрицательным.

Да, забыл добавить: точка $P$ еще пару раз улетит на бесконечность.

[DeBill]

kirilych в сообщении #1516573 писал(а):

Никак не могу найти сколь-нибудь простого геометрического доказательства..

Ну, не очень долгий - по теореме Чевы, например: она прям на такие задачи и заточена...Только надо будет работать с ориентированными отрезками - для обчей ситуции.