Выражение многочлена через эл. симметрические

[EminentVictorians]

Винберг, стр.137 писал(а):

Пример 7.Выразим через $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4$ многочлен

$$f = (x_1x_2 +x_3x_4)(x_1x_3 + x_2x_4)(x_1x_4 + x_2x_3)$$

из примера 4. Не производя вычислений, можно найти с точностью до коэффициентов возможных кандидатов на роль одночленов $u_2, u_3, ...$ Во-первых, их показатели должны удовлетворять неравенствам леммы 1. Во-вторых, поскольку $f$ - однородный многочлен степени 6, сумма их показателей должна равняться 6. В-третьих, они должны быть младше $u_1$.

Неравенства из леммы 1 про монотонное невозрастание показателей степеней каждого из мономов $u_2, u_3, ...$. Т.е. если $k_1, ... ,k_4$ - набор показателей степеней, например, $u_3$, то $k_1 \geqslant ... \geqslant k_4$.

Я не понимаю этот момент. Я согласен с тем, что показатели монома $u_1$ должны монотонно не возрастать (т.к. $f$ симметричный и $u_1$ - его старший член), но почему показатели мономов $u_2, u_3, ... $ должны вести себя так же?

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1515905 писал(а):

но почему показатели мономов $u_2, u_3, ... $ должны вести себя так же?

А как Вы поняли, что такое, например, моном $u_2$?

[EminentVictorians]

nnosipov в сообщении #1515907 писал(а):

А как Вы поняли, что такое, например, моном $u_2$?

Да я особо и не понял, честно говоря. Какой-то моном. Если он существует, то почему показатели его степеней должны невозрастать?

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1515916 писал(а):

Да я особо и не понял, честно говоря. Какой-то моном.

Он не какой-то, в том и дело. Вам надо понять сам алгоритм выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические.

[Sinoid]

EminentVictorians в сообщении #1515916 писал(а):

Если он существует, то почему показатели его степеней должны невозрастать?

По самому построению, приводимому в доказательстве соответствующей теоремы. Причем там не просто невозрастание, а лексиграфическое расположение.

[EminentVictorians]

nnosipov в сообщении #1515925 писал(а):

Вам надо понять сам алгоритм выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические.

Это я понимаю. Ищем старший член многочлена $f$, он будет $x_1^3x_2x_3x_4$ (старший член произведения ненулевых многочленов равен произведению их старших членов). Далее ищем упорядоченный набор $l_1, ... , l_4$ такой, что $F = \sigma_1^{l_1} \cdot ... \cdot \sigma_4^{l_4}$ имеет старшим членов $x_1^3x_2x_3x_4$. Для этого надо решить систему

$$\begin{cases} l_1 + ... + l_4 = 3&\\ ....&\\ l_4 = 1&\\ \end{cases}$$

Понятно, что $l_4 = 1, l_3 = 0, l_2 = 0, l_1 = 2$, поэтому $F = \sigma_1^{2} \cdot \sigma_2^0 \cdot \sigma_3^0 \cdot \sigma_4^1 = \sigma_1^2 \cdot \sigma_4$. Потом надо найти разность $f - F$, она тоже будет симметрическим многочленом и т.д. Но это задание не на эти вещи. Там Винберг прямо перед тем местом, которое я процитировал, пишет: "На практике для однородных симметрических многочленов удобнее применять другой способ, который мы поясним на следующем примере." Т.е. тут вычитать многочлены $f$ и $F$ не надо.

Sinoid в сообщении #1515939 писал(а):

Причем там не просто невозрастание, а лексиграфическое расположение.

А можно чуть подробнее? Просто из того, что один член лексикографически младше другого, не следует, что у него тоже показатели должны невозрастать.

[EminentVictorians]

$u_1, ... , u_i, ... $ - это оказывается старшие мономы многочленов $f_1 = f - F_1, ... , f_i = f_{i-1} - F_i, ... $, а не мономы многочлена $f$, как я думал Дальше все понятно. Выписываем все возможные комбинации старших членов многочленов $f_i$ в лексикографическом убывании (с учетом того, что они все имеют неубывающие невозрастающие коэффициенты и одну и ту же полную степень) и выписываем соотвествующие им произведения элементарных симметрических многочленов, взятых с неизвестными коэффициентами. В виду единственности разложения на эл. симметрические, некоторые коэффициенты просто могут быть нулями. Вопрос закрыт.

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1516032 писал(а):

Вопрос закрыт.

Да, согласен.

[EminentVictorians]

Вот еще кое-что.

Винберг, стр.138 писал(а):

Итак, мы можем утверждать, что

$$f = \sigma_1^2\sigma_4 + a\sigma_3^2 + b\sigma_2\sigma_4.$$

Для того чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$, будем придавать в этом равенстве переменным $x_1, x_2, x_3, x_4$ какие-нибудь выбранные значения. Представим вычисления в виде таблицы, в правом столбце которой будем выписывать получаемые уравнения:

$$\begin{tabular}{ l l l l l l l l l l} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \sigma_1 & \sigma_2 & \sigma_3 & \sigma_4 & f & \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 3 & 1 & 0 & 1& $a=1$ \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0 & 1 & 8 & $-2b = 8$ \\ \end{tabular}$$

Таким образом, $a = 1$ и $b = -4$, так что

$$f = \sigma_1^2\sigma_4 + \sigma_3^2 - 4\sigma_2\sigma_4.$$

На этом месте надо читать между строк. Если я все правильно помню, Винберг вводит многочлен $f = (x_1x_2 + x_3x_4)(x_1x_3 + x_2x_4)(x_1x_4 + x_2x_3)$ над произвольным полем. И над произвольным же полем он его выражает через элементарные симметрические $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4$. Но мне кажется, что так делать нельзя. В процессе решения этого примера есть деление на $-2 = (-1) + (-1)$, но никто не обещал, что $(-2) \ne 0$. Правильнее наверное было бы сделать пометку, что рассуждения выше справедливы не для любого поля. Ну или можно просто сказать, что здесь мы ограничимся рассмотрением $\mathbb{Q}$ или $\mathbb{R}$.

-- 30.04.2021, 14:05 --

Ну и в любом случае, даже если я промахнулся с делением, там все равно мы пытаемся решить СЛАУ с 2 неизвестными. При данных наборах $(1, 1, 1, 0)$ и $(1, 1, -1, -1)$ (если мы решаем задачу над произвольным полем), ее матрица коэффициентов не всегда будет невырожденная. Так что все равно решать этот пример над произвольным полем не очень корректно.

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1516184 писал(а):

Так что все равно решать этот пример над произвольным полем не очень корректно.

Конечно, те наборы значений иксов, что у Винберга, не позволяют найти коэффициент $b$ над полем характеристики 2. Но можно рассуждать так: мы знаем ответ над кольцом целых чисел; если его (ответ) редуцировать по модулю $p$ (где $p$ --- характеристика интересующего нас поля), то мы получим то, что нужно. В частности, для поля характеристики 2 ответом будет $\sigma_1^2\sigma_4+\sigma_3^2$.