Линейная алгебра над полем кватернионов

[alien308]

Существуют ли руководства и библиотеки программ по линейной алгебре над полем кватернионов? Какие результаты переносятся из обычной линейной алгебры? Ранг матрицы, решение линейных уравнений, число обусловленности, быстрое перемножение матриц, собственные значения и вектора и алгоритмы их вычисления. Сингулярное и другие разложения матриц. Всего и побольше, побольше

[arseniiv]

Линейная алгебра уже давно обследовала некоммутативные кольца, вот почитайте пока про модули, обобщение линейных пространств для этого случая.

Раз кватернионы некоммутативны, левые и правые модули будут не взаимозаменяемыми, так что надо будет для общего случая помнить, «столбец» координат вектора мы где-то храним или «строку», чтобы случайно не насчитать что-то бессмысленное. Ещё так как все ненулевые кватернионы обратимы, то вещи насчёт ранга матрицы должны бы быть не такими страшными как в общем случае кольца, но точнее не скажу, не разбираюсь.

Вопрос, который скорее всего будет важным: все ли $\mathbb H$-модули проективные, а лучше свободные (имеют базис, все базисы имеют одно число элементов)? Линейные пространства — свободные модули, и это очень важно для сопоставления операторам матриц и таких вещей. Проективные тоже годятся, но подходящие для разложения системы векторов будут линейно зависимыми. Тут мои познания из Вавилова заканчиваются.

-- Вт апр 13, 2021 17:43:33 --

(Ну и если вдруг не все, то какие из них таковы.)

-- Вт апр 13, 2021 17:44:32 --

(Ну в принципе если нужны ровно только модули $\mathbb H^n$, то те-то конечно свободные по построению. Но откуда они у вас кстати берутся?..)

-- Вт апр 13, 2021 17:47:50 --

А, вот ещё: $\mathbb H$ — это ведь хорошая $\mathbb R$-алгебра, так что все линейные операции над кватернионными столбцами и матрицами переписываются как операции над вещественными, просто в 4 или 16 раз большекомпонентными (ну это в любом случае и ожидалось). Так что библиотека для вещественной линейной алгебры осилит ну как минимум решение системы уравнений. А вот разложения её убедить искать наверно пустая затея, тут уже важна дополнительная структура кватернионов.

[lek]

Можно использовать изоморфизм $\mathbb{H}\simeq M_2(\mathbb{C})$, определяемый отображением $e_k\to-i\sigma_k$. Тогда вместо алгебры матриц над $\mathbb{H}$ можно рассматривать блочные матрицы (с блоками размера $2\times2$) над $\mathbb{C}$ и использовать стандартный аппарат линейной алгебры над полем комплексных чисел.

[Geen]

lek в сообщении #1514179 писал(а):

Можно использовать изоморфизм

Ну да, кватернионы представимы либо вещественными матрицами 4x4, либо комплексными матрицами 2x2... (определённого вида матрицами)
Проблема только в том, что некоторые вычисления более чем линейны по размеру матриц - хотелось бы избежать.
Но лично мне ни разу не попадались "кватернионные библиотеки" (а если бы и попались, я бы сто раз проверил "каждую строчку кода")...

[vpb]

Практически во всех существующих учебниках линейная алгебра рассматривается над полями, причем чаще всего лишь над ${\mathbb R}$ и ${\mathbb C}$, а также иногда над конечными полями. Особенно в книгах для физиков или прикладников.

Вот книжки, где рассматривается также над телами (тело --- это "некоммутативное поле", вроде кватернионов).
1) Мальцев, Основы линейной алгебры, в первых главах.
2) ван дер Варден, Алгебра, немножко в гл.4.
3) Э. Артин, Геометрическая алгебра (весьма !)
4) Бурбаки, Алгебра, гл.2,3 во втором издании (которое на русский переведено), гл.2 в 3-м (на русский не переведено, но есть на английском).

Самые базовые понятия --- пространство, базис, размерность, линейное отображение --- переносятся на случай тел. Решение линейных уравнений тоже (метод Гаусса над телами такой же, как и над полями). Быстрое перемножение матриц переносится по определению, т.к. оно изначально заточено на некоммутативные кольца (иначе бы оно и не было быстрым !).
(И это всё в книжках написано, см.выше).

Дальше, есть то, что должно переноситься на кватернионы, но не на произвольные тела:
(а) число обусловленности
(б) сингулярное разложение.
(эти пункты не знаю где написаны. Я не встречал. Но в природе это точно есть, каким-то образом, из-за того, что ${\mathbb H}^n$ естественным образом является евклидовым пространством)

Что до собственных векторов и собственных значений, я вообще не уверен, есть ли их аналоги для кватернионов. Возможно и нет.

Что до библиотек программ, то я думаю так: скорей всего нет таких, ибо кому и зачем оно надо ? Лет 150 назад на кватернионы возлагали надежды, а сейчас нет.

-- 13.04.2021, 22:36 --

Вообще же, поиск по словам "quaternion linear algebra" показывает, что существует книга L.Rodman, Topics in Quaternion Linear Algebra, и даже она есть в либгене.

[kotenok gav]

vpb в сообщении #1514208 писал(а):

Что до библиотек программ, то я думаю так: скорей всего нет таких, ибо кому и зачем оно надо ? Лет 150 назад на кватернионы возлагали надежды, а сейчас нет.

Ха. Кватернионы очень часто используются в игровых движках.

[vpb]

kotenok gav в сообщении #1514230 писал(а):

Ха. Кватернионы очень часто используются в игровых движках.

Это мелочи. Вопрос товарища был про другое. Есть такая область науки, "вычислительная линейная алгебра". Там действие разворачивается в основном над ${\mathbb R}$, и иногда над ${\mathbb C}$, но последнее малоупотребительно. Товарищ, кажется, интересуется, есть ли аналог над ${\mathbb H}$. Я думаю, что нет, и по той же причине, по которой пока никто не поймал Неуловимого Джо.

[arseniiv]

kotenok gav
В компьютерных играх (и вообще приложениях с трёхмерными моделями чего-то) кватернионы используются, насколько я понимаю, только для поворотов, а точнее:
• для композиции поворотов (быстрее, чем матрицы поворота);
• для SLERP, «линейной интерполяции» поворотов (с матрицами вообще неудобно);
• для исправления изредка набежавшей численной ошибки (лучшие свойства, чем для матриц*);
притом для поворачивания кучи векторов используется уже матрица, потому что теперь уже она будет дешевле.

Можно представить ещё немного операций с кватернионами, которые могут понадобиться, но например до кватернионного SVD вряд ли дело вообще дойдёт.

* Матрица может испортиться большим числом способов, а кватернион только по норме, и притом это вообще важно только из-за того, что вместо $q v q^{-1}$ из-за единичности нормы обычно вроде считают $q v \overline q$, что дешевле — не надо собственно считать квадрат нормы и делить на него — но для первой формулы, исходной теоретической, убегание нормы вообще безразлично. (Ну а ошибки в «знаке» $q$ никак особо не исправишь, ровно как и с матрицами.)

[alien308]

Большое спасибо всем! По поводу блочных матриц, есть ли у блочных матриц собственные значения значения и вектора именно в смысле пространства блоков, а не развёрнутой записи? Для этого ведь только кольцо нужно, как я понял? Похоже теория представлений алгебр Ли и линейных групп Ли есть такая линейная алгебра, раздутая то безобразия и со странной терминологией. Понимание облегчается когда видишь аналогии с линейной алгеброй.
Интересно есть ли в линейной алгебре кватернионов аналог эрмитовых матриц и квадратичных (эрмитово квадратичных, полуторолинейных, как правильно?) форм?

И вообще хочу кватернионного SVD . Физическая интуиция кричит что есть. Очень уж кватернион на вектор и на число похож.

-- Ср апр 21, 2021 06:35:21 --

arseniiv в сообщении #1514121 писал(а):

(Ну в принципе если нужны ровно только модули $\mathbb H^n$, то те-то конечно свободные по построению. Но откуда они у вас кстати берутся?..)

Как бы сказать. Натягивал сову на глобус (проецировал задачу на меньшую размерность), а он возможно кватернионный. Общественность вообще сову на плоскость или гиперплоскость натягивает приближённо изометречески и радуется. Сова ругается.

На Вавилова по этому делу ссылки есть?

[arseniiv]

Вавилов тут ничем особым не отличается, я просто про модули впервые более-менее нормально читал у него (но случайно).

alien308 в сообщении #1515179 писал(а):

Интересно есть ли в линейной алгебре кватернионов аналог эрмитовых матриц и квадратичных (эрмитово квадратичных, полуторолинейных, как правильно?) форм?

По идее ничего не мешает. Для комплексного пространства $V$ мы определяем комплексно-сопряжённое пространство $\overline V$ как состоящее из тех же векторов, которые так же складываются друг с другом, а вот на скаляр умножаются так: $z \cdot_{\overline V} \vec v = \overline z \cdot_V \vec v$. Полулинейная форма на $V$ — это просто линейная форма на $\overline V$; также эрмитова форма на $V$ — это просто билинейная форма над обычным и комплексно-сопряжённым пространствами: $\overline V \times V \to \mathbb C$. Эрмитовы операторы и матрицы уже через какую-то данную нам эрмитову форму. Теперь проведём ту же конструкцию, но для кватернионов, но, насколько я понимаю, если модуль $V$ был правый, то $\overline V$ должен будет оказаться левым. Вот как раз вру, для хорошей работы он должен быть по идее правым.

[lek]

Описание кватернионных евклидовых пространств кратко изложено в книге Постникова "Лекции по геометрии, семестр IV, Дифференциальная геометрия" (Лекция 7, стр. 127-129 по изд. 1988 г.)

[alien308]

Спасибо!

-- Пт апр 23, 2021 04:05:16 --

arseniiv в сообщении #1515184 писал(а):

Вавилов тут ничем особым не отличается, я просто про модули впервые более-менее нормально читал у него (но случайно).

alien308 в сообщении #1515179 писал(а):

Интересно есть ли в линейной алгебре кватернионов аналог эрмитовых матриц и квадратичных (эрмитово квадратичных, полуторолинейных, как правильно?) форм?

По идее ничего не мешает. Для комплексного пространства $V$ мы определяем комплексно-сопряжённое пространство $\overline V$ как состоящее из тех же векторов, которые так же складываются друг с другом, а вот на скаляр умножаются так: $z \cdot_{\overline V} \vec v = \overline z \cdot_V \vec v$. Полулинейная форма на $V$ — это просто линейная форма на $\overline V$; также эрмитова форма на $V$ — это просто билинейная форма над обычным и комплексно-сопряжённым пространствами: $\overline V \times V \to \mathbb C$. Эрмитовы операторы и матрицы уже через какую-то данную нам эрмитову форму. Теперь проведём ту же конструкцию, но для кватернионов, но, насколько я понимаю, если модуль $V$ был правый, то $\overline V$ должен будет оказаться левым. Вот как раз вру, для хорошей работы он должен быть по идее правым.

Если канонично подходить, наверное надо сотворить пространство линейных функционалов над пространством, но тут тоже сено-солома.

[arseniiv]

Пространство линейных функционалов-то само собой будет в ходу, но с ним ничего особенного не творится, разве что вот тут уж точно для правого $V$ будет левый $V^*$ и наоборот. Невырожденная эрмитова форма даст нам вложения $\overline V \to V^*$ и $V \to \overline V^*$ (как и в комплексном случае), ну и эрмитово сопряжение этой формой превращает линейное отображение $V \to W$ в линейное отображение $\overline V \to \overline W$, а это то же самое что линейное отображение $V \to W$ — можно два сопряжения скаляра одновременно выкинуть. Это всё будет то же самое что и в комплексном случае (и вещественном, где естественно считать $\overline V = V$), просто на всякий случай расписал.