Определение интеграла Римана

[arseniiv]

Arkadij в сообщении #1514035 писал(а):

Но кажется, что действительно можно ограничиться только, например, равномерным распределением.

Но скажите, где вы увидели, что кто-то ограничивается только каким-то подмножеством разбиений? Когда я читаю, я везде почему-то вижу, как рассматриваются все разбиения разом — что в определениях интеграла Римана, что эквивалентных определениях интеграла через суммы Дарбу.

Если предел по всем разбиениям при стремлении диаметра к нулю выглядит так сложно для понимания, можно перейти к более общему понятию предела по направленному множеству и навести на разбиениях естественную структуру направленного множества: одно разбиение меньше другого, если второе — измельчение первого. Это частичный порядок, и для каждой пары разбиений существует разбиение, являющееся измельчением обоих (надо просто объединить множества границ отрезков разбиения), так что всё сработает. Если теперь взять произвольное направленное множество $A$ и функцию $f \colon A \to \mathbb R$, то говорят, что $\lim_{a \in A} f(a) = c \in \mathbb R$, если для любой окрестности $U \ni c$ найдётся такой индекс (элемент направленного множества) $a \in A$, что $f(a') \in U$ для всех $a' \geqslant a$ (в нашем случае: для всех разбиений мельче $a$). Такая формулировка, без явного упоминания диаметра, эквивалентна формулировкам с диаметром.

Формулировки с диаметром могут тоже стать понятными, если рассматривать предел в метрическом пространстве при стремлении разбиений к «мельчайшему разбиению» (несуществующему, но мы присоединим его для удобства), расстояние от которого до произвольного разбиения — это диаметр разбиения. Нам не нужно будет определять расстояние между парами обычных разбиений, конструкция сработает и так.

Но если ничего не помогает, используйте суммы Дарбу и не парьтесь. Там только супремумы и инфимумы, вроде негде будет запутаться.

[Someone]

Arkadij в сообщении #1514008 писал(а):

Рассмотрим некоторое разбиение $T$ отрезка $[a,b]$.
Eсли найдется вещественное число $\cal I$, что для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое что если $diam T<\delta$, то

$$ \left|\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta x_k-\cal I\right|<\varepsilon $$

для всех комплектов $\xi$, то говорят, что $f$ интегрируема на этом отрезке в смысле Римана и интеграл равен $\cal I$.

У меня такое впечатление, что Вы не читаете, что Вам пытаются объяснить. В таком виде это определение неправильное, а Вы не хотите слушать.
Давайте начнём от печки. Сформулируйте, пожалуйста, определение разбиения отрезка $[a,b]$. Без этого определения будет переливание из пустого в порожнее.

[vpb]

Arkadij в сообщении #1514035 писал(а):

Но кажется, что действительно можно ограничиться только, например, равномерным распределением.

Правильнее тут говорить не разбиении, а о "последовательности разбиений" (например, последовательности всех разбиений на $n$ равных отрезков). C таким уточнением да, можно. Если для данного разбиения из последовательности рассматривать ВСЕ подчиненнные ему комплекты.

[Arkadij]

[/quote]Попробуйте использовать критерий Дарбу. Пусть для любого $\varepsilon$ существует разбиение, такое что при любом выборе отмеченных точек интегральная сумма не будет отличаться от $\cal I$ больше чем на $\varepsilon$. Что можно сказать про суммы Дарбу для такого разбиения? А что из этого следует про интегралы Дарбу?[/quote]

Итак. Пусть интегрируемость показана для равномерного распределения. Тогда, так как суммы Дарбу это супремум и инфимум по всем комплектам для суммы Римана, то для любого эпсилона и любого комплекта точек найдется такое равномерное распределение, что

$$ I-\varepsilon\leq s(T)\leq\sigma(T,c_k)\leq S(T)\leq I+\varepsilon.$$

Отсюда получаем оценку для интегралов Дарбу:

$$ I-\varepsilon\leq I_*\leq I^*\leq I+\varepsilon.$$

Откуда не сложно получить, что функция интегрируема по Дарбу, а значит и по Риману, при чем интеграл равен $I$.

Всё правильно? Если да, то СПАСИБО!

Не соглашусь, что это есть во всех учебниках. В скрытом виде да. Но если такое замечание поставить сразу после определения или вообще определять только через равномерное разбиение, было бу куда проще применять это определение.

-- 12.04.2021, 23:25 --

Ответ тем, кто ругался, что я не определяю понятие разбиения. Приношу свои извенения. Похоже это и породило непонимание. Грубо говоря под разбиением отрезка я понимал правило по которому мы его разбиваем. Что, конечно, формально не верно.

Суть вопроса была в том, что, можно ли ограничиться только скажем разбиванием на равные отрезки или мы обязаны проверять все возможные разбиения.

В прошлом своём сообщении я похоже доказал, что такое разнообразие разбиений вообще ни к чему. Достаточно ограничиться одним способ разбиения, который позволяет неограниченно измельчать исходный отрезок.

[Dan B-Yallay]

Arkadij в сообщении #1514070 писал(а):

Достаточно ограничиться одним способ разбиения, который позволяет неограниченно измельчать исходный отрезок.

В одномерии - да. Для интегралов по поверхности там есть некоторые нюансы.

[Padawan]

Вообще, вопрос действительно трудный. Я в студенческие годы не знал понятий верхнего и нижнего интеграла Дарбу и не знал, что верхние суммы всегда стремятся к верхнему интегралу Дарбу, а нижние суммы - к нижнему. Нам просто не давали этой теоремы. А аналогичный вопрос у меня возникал.
Вот, даже тему 14 лет назад на форуме создавал https://dxdy.ru/topic6199.html

[Arkadij]

Dan B-Yallay в сообщении #1514077 писал(а):

Arkadij в сообщении #1514070 писал(а):

Достаточно ограничиться одним способ разбиения, который позволяет неограниченно измельчать исходный отрезок.

В одномерии - да. Для интегралов по поверхности там есть некоторые нюансы.

А с кратными интегралами наверняка всё так же просто, достаточно разбивть равномерно.

[Someone]

(Arkadij)

Arkadij в сообщении #1514070 писал(а):

Ответ тем, кто ругался, что я не определяю понятие разбиения. Приношу свои извенения. Похоже это и породило непонимание. Грубо говоря под разбиением отрезка я понимал правило по которому мы его разбиваем. Что, конечно, формально не верно.

А почему надо было выдумывать свою формально неверную терминологию вместо того, чтобы воспользоваться стандартной правильной? Чтобы запутать отвечающих?

[Arkadij]

Someone в сообщении #1514093 писал(а):

(Arkadij)

Arkadij в сообщении #1514070 писал(а):

Ответ тем, кто ругался, что я не определяю понятие разбиения. Приношу свои извенения. Похоже это и породило непонимание. Грубо говоря под разбиением отрезка я понимал правило по которому мы его разбиваем. Что, конечно, формально не верно.

А почему надо было выдумывать свою формально неверную терминологию вместо того, чтобы воспользоваться стандартной правильной? Чтобы запутать отвечающих?

Потому что мысли убежали Действительно временами не отличал, где разбиение, а где правило. Теперь я вижу, что мне это самому временами сильно мешало.