Определение интеграла Римана

[Arkadij]

На сколько важно упоминать в определении интеграла Римана, что условие должно выполняться для всех разбиений отрезка? Во многих учебниках это условие опускается и на первый взгляд кажется, что так как диаметр выбранного разбиения стремится к нулю и предел не должен зависеть от выбора точек на отрезках, то лазеек нет, т.е. если при одном разбиении предел будет $I$, то и при всех других так же. Но тогда это надо бы доказать и такого доказательства никто не приводит.

Другими словами: можно ли привести контрпример такой функции и таких двух разбиений отрезка $[a,b]$, для одного из которых предел римановских сумм существовал не зависимо от выбора точек, а для друго был бы отличным или не существовал?

[kmpl]

Arkadij в сообщении #1513969 писал(а):

двух разбиений отрезка $[a,b]$, для одного из которых предел римановских сумм существовал не зависимо от выбора точек, а для друго был бы отличным или не существовал?

А что значит "предел существует для разбиения"?

[Arkadij]

Пусть дано разбиение $T$, тогда если существует

$$ \lim_{diam T\to 0}\sigma(\xi,T)=\cal{I}, $$

где $\sigma$ сумма Римана, не зависимо от $\xi$ (набор $x_i$), то этот предел называют интегралом Римана.

При разных разбиениях $T$ мы имеем разные значения для сумм римана, поэтому и предел может зависеть от того по какому правилу мы разбиваем отрезок.

[kmpl]

Независимость значения интеграла Римана от набора разбиений входит в само определение интеграла Римана. Но это в некотором смысле "вольность речи". Я бы, чтобы детально со всем разобраться, начал бы с самого начала. Что дано? Что такое предел и предел чего у нас есть? И т.д. Сформулируйте все подробно и Вы сами увидите, как Ваши трудности рассыплются.

[demolishka]

Arkadij, разбиение и оснащение, использующиеся в интеграле Римана, — конечны (на конечное число отрезков) и диаметр там никуда не стремится. То, что Вы хотите, это взять последовательность разбиений и оснащений, у которых диаметр стремится к нулю. Потом сосчитать для них римановы суммы и посмотреть предел. Но интегрируемость по Риману определяется так, что для функции, интегрируемой по Риману, всегда будет получаться одно и то же. А вот для неинтегрируемых по Риману функций (например, функция Дирихле) может получаться разное.

[Arkadij]

Как-то мне кажется, что вы меня не очень поняли. Определение классическое, предел тоже понимается исходя из этого определения. Просто не хотелось расписывать.

Рассмотрим некоторое разбиение $T$ отрезка $[a,b]$.
Eсли найдется вещественное число $\cal I$, что для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое что если $diam T<\delta$, то

$$ \left|\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\Delta x_k-\cal I\right|<\varepsilon $$

для всех комплектов $\xi$, то говорят, что $f$ интегрируема на этом отрезке в смысле Римана и интеграл равен $\cal I$.

Вопрос. Если это определение корректно, то нужно добавить, что результат не зависит от того, какое разбиение мы возьмем за основу (равномерное или там скажем каждый второй отрезок в два раза короче предыдущего) и доказать это.

Если же наше правило разбиения может повлиять на результат, то хотелось бы контрпример.

То, что Дирихле не интегрируема доказывается выбором разных комплектов при одном и том же разбиении. Показать же, что результат зависит от правила разбиения (разбиваем по разной методике, но комплекты точек проверяем все) в случае функции Дирихле невозможно.

[kmpl]

Arkadij в сообщении #1514008 писал(а):

предел тоже понимается исходя из этого определения.

Давайте уточним это место. Что такое предел? К какому объекту относится это понятие?

[mihaild]

Arkadij в сообщении #1514008 писал(а):

Рассмотрим некоторое разбиение $T$ отрезка $[a,b]$.
Eсли найдется вещественное число $\cal I$, что для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое что если $diam T<\delta$,

Положим $\delta = \operatorname{diam}(T)$ и получим, что любая функция интегрируема и интеграл равен любому числу.

Классическое определение такое: $\cal I$ является значением интеграла, если $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall T \forall \xi: (\operatorname{diam}(T) < \delta) \rightarrow (\ldots < \varepsilon)$.
Вы, возможно, хотите что-то вроде $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \exists T: (\operatorname{diam}(T) < \delta) \wedge (\forall \xi: \ldots < \varepsilon)$ (ну и $\delta$ отсюда, понятно, можно выкинуть)?

[Arkadij]

Если уж приведено полное определение, то слово предел можно смело опустить. В определении нет ни одного слова о пределе, а если уж слово предел у меня вылетело, то определяется он именно так, как это дано в определении. Для любого эпсилон найдется дельта, что если диаметр меньше дельта, то расстояние между I и суммой Римана меньше, чем эпсилон.

-- 12.04.2021, 16:00 --

mihaild в сообщении #1514014 писал(а):

Положим $\delta = \operatorname{diam}(T)$ и получим, что любая функция интегрируема и интеграл равен любому числу.

Как это? Дельта выбирается под эпсилон. Что значит диаметр просто равен дельта и интеграл любое число.

[Null]

Вы берете фиксированное разбиение $T$, его менять нельзя - это то что вы написали!

[mihaild]

Arkadij в сообщении #1514015 писал(а):

Как это?

Так. У вас написано

Arkadij в сообщении #1514008 писал(а):

найдется $\delta>0$ такое что

Квантор по $T$ при этом снаружи (мы начали с "рассмотрим некоторое разбиение"). Ну вот и возьмем $\delta = \operatorname{diam}(T)$ - оно подойдет (проверьте!).

[Padawan]

Arkadij
При мелкости разбиения, стремящейся к нулю, нижние суммы Дарбу всегда стремятся к определенному числу $I_*$, а верхние суммы Дарбу всегда стремятся к определенному числу $I^*$. Функция интегрируема по Римана тогда и только тогда, когда $I_*=I^*$. Поэтому если для какой-то последовательности разбиений $\{T_k\}$ отрезка $[a,b]$, с мелкостью стремящейся к нулю, независимо от выбора разметок $\{\xi^{(k)}\}$ будет выполнено $\sigma(\xi^{(k)},T_k\}=I$, то $I_*=I^*=I$ и функция интегрируема на $[a,b]$.

-- Пн апр 12, 2021 19:12:47 --

Arkadij в сообщении #1514008 писал(а):

Вопрос. Если это определение корректно, то нужно добавить, что результат не зависит от того, какое разбиение мы возьмем за основу (равномерное или там скажем каждый второй отрезок в два раза короче предыдущего) и доказать это.

Определение корректно. Добавлять ничего не нужно.

-- Пн апр 12, 2021 19:17:41 --

Arkadij в сообщении #1513969 писал(а):

Но тогда это надо бы доказать и такого доказательства никто не приводит.

Это доказывается почти во всех учебниках матанализа. Например, Л. Д. Кудрявцев Курс математического анализа. В 3 т. Т. 1 --М.: Высш. шк., 1988. -- С. 578 (пункт 27.7 Критерии интегрируемости Дарбу и Римана).

[Arkadij]

Мысли вслух.
Кудрявцев. Четко говорит, что неравенство должно выполняться для всех разбиений диаметром меньше $\delta$. Т.е., если я докажу, что выполняется только для равномерного разбиения, из этого ничего не следует.

Про Дарбу. Здесь можно покопать, но что первое вижу -- Дарбу не связаны со способом разбиения, и они равны интегралу Римана. Прекрасно. Но как же мне понять интегрируема функция или нет, если я доказал сходимость только для равномерного распределения.

Кто говорил про пределы и дельта. Похоже вы не принимаете тот факт, что правило разбиения можно задать по-разному. Пусть $f(x)=x$. Пусть $[a,b]=[0,1]$. Пусть $\varepsilon=0,5$.

При равномерном разбиении можем взять $n=2$, $diam T<\delta=1$, тогда $|\sigma(\xi_k,T)-0,5|\leq|0,5\cdot 0,5+1\cdot 0,5-0,5|=0,25<\varepsilon$.

Теперь правило разбиения - нечетные отрезки в три раза длиньше четных. Теперь $\delta=1$ не подходит:
$|\sigma(\xi_k,T)-0,5|\leq|0,25\cdot 0,25+1\cdot 0,75-0,5|=0,875>\varepsilon$. Значит берём $\delta=0,75$ и т.д.

Пример элементарный, но прекрасно демонстрирует, что при различных разбиениях суммы Римана ведут себя по-разному и не просто так Кудрявцев требует, чтоб неравенство выполнялось для всех разбиений. Но кажется, что действительно можно ограничиться только, например, равномерным распределением.

[vpb]

Вообще говоря, классическое определение интеграла Римана действительно несколько избыточно в отношении количества кванторов. Можно взять такое.

Обозначим через $\sigma(f,T,\xi)=\sum_{k=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$ интегральную сумму, соответствующую разбиению $T=(x_0=a<x_1<\ldots<x_n=b)$ и комплекту $\xi=(\xi_i\mid i=1,\ldots,n)$, $x_{i-1}\leq\xi_i\leq x_i$. Тогда $f$ интегрируема на $[a,b]$, если существует $I$ такое, что для любого $\varepsilon>0$ существует разбиение $T$ такое, что для любого комплекта $\xi$, подчиненного разбиению $T$, имеем $|\sigma(f,T,\xi)-I|<\varepsilon$.

(Например, допустим, что $T=(a<b)$ --- тривиальное разбиение (из одной части), и что $\sigma(f,T,\xi)=I$ для любого "комплекта" $\xi=(\xi_1)$, т.е. $(b-a)f(\xi_1)=I$ для любой точки $\xi_1\in[a,b]$. Тогда $f$ постоянна на отрезке, и тем самым интегрируема !)

[mihaild]

Arkadij в сообщении #1514035 писал(а):

Дарбу не связаны со способом разбиения, и они равны интегралу Римана

Связаны. Верхняя и нижняя суммы Дарбу - функции разбиения.

Arkadij в сообщении #1514035 писал(а):

Но как же мне понять интегрируема функция или нет, если я доказал сходимость только для равномерного распределения.

Попробуйте использовать критерий Дарбу. Пусть для любого $\varepsilon$ существует разбиение, такое что при любом выборе отмеченных точек интегральная сумма не будет отличаться от $\cal I$ больше чем на $\varepsilon$. Что можно сказать про суммы Дарбу для такого разбиения? А что из этого следует про интегралы Дарбу?