Мысли вслух.
Кудрявцев. Четко говорит, что неравенство должно выполняться для всех разбиений диаметром меньше

. Т.е., если я докажу, что выполняется только для равномерного разбиения, из этого ничего не следует.
Про Дарбу. Здесь можно покопать, но что первое вижу -- Дарбу не связаны со способом разбиения, и они равны интегралу Римана. Прекрасно. Но как же мне понять интегрируема функция или нет, если я доказал сходимость только для равномерного распределения.
Кто говорил про пределы и дельта. Похоже вы не принимаете тот факт, что правило разбиения можно задать по-разному. Пусть

. Пусть
![$[a,b]=[0,1]$ $[a,b]=[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/f/29fe49a76a51e33e284731e84a6dbc4c82.png)
. Пусть

.
При равномерном разбиении можем взять

,

, тогда

.
Теперь правило разбиения - нечетные отрезки в три раза длиньше четных. Теперь

не подходит:

. Значит берём

и т.д.
Пример элементарный, но прекрасно демонстрирует, что при различных разбиениях суммы Римана ведут себя по-разному и не просто так Кудрявцев требует, чтоб неравенство выполнялось для всех разбиений. Но кажется, что действительно можно ограничиться только, например, равномерным распределением.