2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Существует ли неустойчивый многочлен нечётной степени вида:
Сообщение12.04.2021, 15:12 


03/03/12
1380
Существует ли неустойчивый многочлен нечётной степени вида:
$f(\alpha)=(x+y+\alpha)^n-(x^n+y^n)$, $(x;y)>0$, $n=2k-1>1$?

Если эта задача сложна, можно рассмотреть частные случаи (желательно покруче).

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли неустойчивый многочлен нечётной степени вида:
Сообщение12.04.2021, 19:14 
Заслуженный участник


03/01/09
1707
москва
При условиях задачи все корни $f(\alpha )$ лежат в левой полуплоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли неустойчивый многочлен нечётной степени вида:
Сообщение12.04.2021, 20:19 


03/03/12
1380
mihiv, действительные корни понятно, что лежат в левой полуплоскости. А действительные части комплексных корней почему находятся в левой полуплоскости. Вы ведь их тоже считаете находящимися там, если я Вас правильно поняла. Или Вы подразумеваете только действительные корни? Кстати, сколько их?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли неустойчивый многочлен нечётной степени вида:
Сообщение12.04.2021, 21:21 
Заслуженный участник


03/01/09
1707
москва
TR63
Все корни $f(\alpha )$ даются формулой: $\alpha _k=-(x+y)+\rho e^{i\frac {2\pi k}n}, k=0,\dots ,n-1, \rho =\sqrt [n]{x^n+y^n}$, а так как $\rho <x+y$, то действительная часть корней $<0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Существует ли неустойчивый многочлен нечётной степени вида:
Сообщение12.04.2021, 22:42 


03/03/12
1380
mihiv, спасибо.
Я решала без использования этой формулы. При $n=3$ задача с помощью критерия Гурвица решается полу устно. Дальше результат экстраполировала. При $n=5$ тоже с помощью критерия Гурвица решатся просто.
Гипотетическую экстраполяцию Вы подтвердили аналитически.

Меня заинтересовало то, что схема гипотетической экстраполяции совпадает с схемой экстраполяции в теореме Ферма. Я предположила, что любое свойство $f(\alpha)$ с такой схемой (при делении на не пересекающиеся классы по $(n)$ относительно какого-либо свойства с остатком в левом классе равном единице) будет экстраполироваться относительно исследуемого свойства (в данной задаче это свойство устойчивости).
Интересно было бы исследовать ещё какое-либо свойство многочлена $f(\alpha)$, задаваемого с помощью двух операций (сложение и умножение).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group