Существует ли неустойчивый многочлен нечётной степени вида:

[TR63]

Существует ли неустойчивый многочлен нечётной степени вида:
$f(\alpha)=(x+y+\alpha)^n-(x^n+y^n)$, $(x;y)>0$, $n=2k-1>1$?

Если эта задача сложна, можно рассмотреть частные случаи (желательно покруче).

[mihiv]

При условиях задачи все корни $f(\alpha )$ лежат в левой полуплоскости.

[TR63]

mihiv, действительные корни понятно, что лежат в левой полуплоскости. А действительные части комплексных корней почему находятся в левой полуплоскости. Вы ведь их тоже считаете находящимися там, если я Вас правильно поняла. Или Вы подразумеваете только действительные корни? Кстати, сколько их?

[mihiv]

TR63
Все корни $f(\alpha )$ даются формулой: $\alpha _k=-(x+y)+\rho e^{i\frac {2\pi k}n}, k=0,\dots ,n-1, \rho =\sqrt [n]{x^n+y^n}$, а так как $\rho <x+y$, то действительная часть корней $<0.$

[TR63]

mihiv, спасибо.
Я решала без использования этой формулы. При $n=3$ задача с помощью критерия Гурвица решается полу устно. Дальше результат экстраполировала. При $n=5$ тоже с помощью критерия Гурвица решатся просто.
Гипотетическую экстраполяцию Вы подтвердили аналитически.

Меня заинтересовало то, что схема гипотетической экстраполяции совпадает с схемой экстраполяции в теореме Ферма. Я предположила, что любое свойство $f(\alpha)$ с такой схемой (при делении на не пересекающиеся классы по $(n)$ относительно какого-либо свойства с остатком в левом классе равном единице) будет экстраполироваться относительно исследуемого свойства (в данной задаче это свойство устойчивости).
Интересно было бы исследовать ещё какое-либо свойство многочлена $f(\alpha)$, задаваемого с помощью двух операций (сложение и умножение).