Уравнение в факториалах

[statistonline]

Доказать, что уравнение $a_1!+a_2!+...+a_n!=a_{n+1}! (a_i\in N, n\geqslant 2)$ имеет единственное решение $a_{n+1}=n; a_1=a_2=...=a_n=n-1$
То, что это решение - тривиально. Далее, несложно проверить, что для $n=2, 3,...$ - это, действительно, единственное решение. А дальше как действовать? Доказательством по индукции?

[Евгений Машеров]

Предположим, что среди $a_i, i<n$ есть меньшие $n-1$...

[Shadow]

Мне кажется, что пропущены условия.

[kotenok gav]

Скажем, $5!=20\times3!$.

[statistonline]

Евгений Машеров в сообщении #1513853 писал(а):

Предположим, что среди $a_i, i<n$ есть меньшие $n-1$...

1. Рассмотрим сначала ограничения на $a_n$. Пусть среди $a_i$ слева имеется наибольшее. Обозначим его $t$. Тогда $1\leqslant t < a_n$.

$t!\cdot a_n \leqslant a_n\cdot (a_n-1)!=a_n!\leqslant n\cdot t!$

$t!\cdot a_n\leqslant n\cdot t!$

$a_n \leqslant n$

2 Пусть среди $a_i$ слева есть $a_i<n-1$. Тогда выберем среди них наименьшее $a_k$ и разделим обе части уравнения на $k!$.
$\frac{a_1!}{k!}+...+\frac{a_{n-1}!}{k!}+1=\frac{a_n!}{k!}$
Слева все дроби не меньше 1, значит, сумма левой части $\geqslant n$, а правая часть по п.1 $\leqslant n$. Остается единственное решение, про которое говорилось выше. Так?

(Оффтоп)

почему-то редактор все время ругается на знак факториала, требует заменить его на '\ne'

kotenok gav в сообщении #1513856 писал(а):

Скажем, $5!=20\times3!$.

Не пойму Ваш пример.

Shadow в сообщении #1513854 писал(а):

Мне кажется, что пропущены условия.

Вроде нет.

[svv]

statistonline в сообщении #1513840 писал(а):

Доказать, что уравнение $a_1!+a_2!+...+a_n!=a_{n+1}! (a_i\in N, n\geqslant 2)$ имеет единственное решение $a_{n+1}=n; a_1=a_2=...=a_n=n-1$

То есть, например, $5!=4!+4!+4!+4!+4!$ единственный нетривиальный способ представить $5!$ в виде суммы факториалов, верно?

Так вот kotenok gav продемонстрировал другое решение:
$5!=3!+3!+3!+3+3!+3!+3!+3!+3+3!+3!+3!+3!+3+3!+3!+3!+3!+3+3!$
И этого единственного контрпримера к утверждению достаточно, чтобы считать утверждение неверным, а задачу закрытой.

[statistonline]

svv в сообщении #1513863 писал(а):

И этого единственного контрпримера к утверждению достаточно, чтобы считать задачу закрытой.

Ну вот, я проверил единственность для $n=2, 3$, а после них все только начиналось...

[svv]

Тут вообще необъятный простор:
$5!=4!+4!+4!+4!+3!+3!+2!+2!+2!+2!+2!+2!$
$3!=2!+1!+1!+1!+1!$
(запрещено $n<2$, но не $a_i<2$)

[kotenok gav]

Предлагаю считать случаи равных $a_n$ или когда среди них есть единицы, тривиальными.

[statistonline]

svv в сообщении #1513865 писал(а):

Тут вообще необъятный простор:

Это да. Видимо, действительно,

Shadow в сообщении #1513854 писал(а):

Мне кажется, что пропущены условия.

и надо подумать на ограничение $n$.

[svv]

kotenok gav в сообщении #1513866 писал(а):

Предлагаю считать случаи равных $a_n$ или когда среди них есть единицы, тривиальными.

Тогда и задача тривиальна. Запишем "равенство"
$6!=5!+4!+3!+2!+1!$
Нетривиальное решение может получиться только вычёркиванием слагаемых из правой части. Но она и так сильно меньше левой...

[kotenok gav]

Я имел в виду не "хоть каких-то равных", а когда они все равны.

[arseniiv]

Тогда единственности опять не будет: берём например

svv в сообщении #1513865 писал(а):

$5!=4!+4!+4!+4!+3!+3!+2!+2!+2!+2!+2!+2!$

и заменяем сколько-то из $n!$ на $1! + \ldots + 1!$. Кстати не оговорили, что $0!$ не должны присутствовать, а это обязательно нужно сделать ради единственности, ведь $0! = 1!$.

[Евгений Машеров]

Если не накладывать дополнительных условий, решения получаются набором нужного количества 1! или 0!.
Возможное ограничение $n\le a_{n+1}$

[statistonline]

arseniiv в сообщении #1513892 писал(а):

Кстати не оговорили, что $0!$ не должны присутствовать,

Вроде же оговорили?:

statistonline в сообщении #1513840 писал(а):

$a_1!+a_2!+...+a_n!=a_{n+1}! (a_i\in N, n\geqslant 2)$

Евгений Машеров в сообщении #1513896 писал(а):

Если не накладывать дополнительных условий, решения получаются набором нужного количества 1! или 0!.
Возможное ограничение $n\le a_{n+1}$

Для $n<a_{n+1}$ решений нет, а для $n>a_{n+1}$ нет единственного решения.