Максимальная возможная разность между вычетами ПСВ(p\#)

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1513485 писал(а):

А если посмотреть отношение $d/p_{r-2}$?
Впрочем ...
...
$p_r=2887, d=11448, l=4p_{r-2}-2=11442, d/l=1.000524$
$p_r=2897, d=11518, l=4p_{r-2}-2=11514, d/l=1.000347$
.

Дима - это потрясно! Значит ошибка вычисления максимального расстояния между вычетами ПСВ по этой формуле при больших $p_r$ не превышает 0,3%.
Я проверял эту формулу при небольших $p_r \leq 113$ и там $d_r <4p_{r-2}-2$ и значительно. Интересно почему?

[Dmitriy40]

На самом деле интервалы на 2 больше, я кажется перестраховался и занизил его. Ну и коэффициент будет чуть больше.
Плюс чуть подправив алгоритм добился ещё чуточку более плотной упаковки вычетов.
$p_r=2609, d=10388, l=4p_{r-2}-2=10362, d/l=1.002509$
$p_r=2617, d=10488, l=4p_{r-2}-2=10370, d/l=1.011379$
$p_r=2621, d=10440, l=4p_{r-2}-2=10434, d/l=1.000575$
$p_r=2633, d=10570, l=4p_{r-2}-2=10466, d/l=1.009937$
$p_r=2647, d=10538, l=4p_{r-2}-2=10482, d/l=1.005342$
$p_r=2657, d=10592, l=4p_{r-2}-2=10530, d/l=1.005888$
$p_r=2659, d=10654, l=4p_{r-2}-2=10586, d/l=1.006424$
$p_r=2663, d=10710, l=4p_{r-2}-2=10626, d/l=1.007905$
$p_r=2671, d=10804, l=4p_{r-2}-2=10634, d/l=1.015986$
$p_r=2677, d=10698, l=4p_{r-2}-2=10650, d/l=1.004507$
$p_r=2683, d=10738, l=4p_{r-2}-2=10682, d/l=1.005242$
$p_r=2687, d=10720, l=4p_{r-2}-2=10706, d/l=1.001308$
$p_r=2689, d=2028, l=4p_{r-2}-2=10730, d/l=0.189003$
$p_r=2693, d=10772, l=4p_{r-2}-2=10746, d/l=1.002420$
$p_r=2699, d=10908, l=4p_{r-2}-2=10754, d/l=1.014320$
Так что на 0.3% не надейтесь, реально самое плотное размещение будет ещё на несколько процентов плотнее (например интервал $106$ вместо реальных $53\#$ у меня появляется лишь на $67\#$, а интервал $926$ вместо реальных $269\#$ лишь на $359\#$).
Ну и например как видно ниже для $2647\#$ существует размещение с интервалом $10720$ вместо $10538$ и для него коэффициент будет уже не $1.005342$, а $1.022706$.
Так что эти цифирки выше лишь для оценки значения, что оно не сходится к конкретному пределу, а довольно сильно болтается чуть выше $1.0$. Но насколько именно выше сказать трудно.

-- 08.04.2021, 19:59 --

Заодно и изначальное условие пересчитал:
$p_r=2111, d=8456, 4p_{r+1}=8452, d/p_{r+1}=4.001893$
$p_r=2141, d=8606, 4p_{r+1}=8572, d/p_{r+1}=4.015866$
$p_r=2243, d=9008, 4p_{r+1}=9004, d/p_{r+1}=4.001777$
$p_r=2273, d=9138, 4p_{r+1}=9124, d/p_{r+1}=4.006138$
$p_r=2377, d=9540, 4p_{r+1}=9524, d/p_{r+1}=4.006720$
$p_r=2381, d=9566, 4p_{r+1}=9532, d/p_{r+1}=4.014268$
$p_r=2383, d=9590, 4p_{r+1}=9556, d/p_{r+1}=4.014232$
$p_r=2399, d=9648, 4p_{r+1}=9644, d/p_{r+1}=4.001659$
$p_r=2411, d=9672, 4p_{r+1}=9668, d/p_{r+1}=4.001655$
$p_r=2417, d=9724, 4p_{r+1}=9692, d/p_{r+1}=4.013207$
$p_r=2423, d=9828, 4p_{r+1}=9748, d/p_{r+1}=4.032827$
$p_r=2437, d=9784, 4p_{r+1}=9764, d/p_{r+1}=4.008193$
$p_r=2441, d=9852, 4p_{r+1}=9788, d/p_{r+1}=4.026154$
$p_r=2459, d=9944, 4p_{r+1}=9868, d/p_{r+1}=4.030807$
$p_r=2467, d=9920, 4p_{r+1}=9892, d/p_{r+1}=4.011322$
$p_r=2473, d=9952, 4p_{r+1}=9908, d/p_{r+1}=4.017763$
$p_r=2477, d=10080, 4p_{r+1}=10012, d/p_{r+1}=4.027167$
$p_r=2503, d=10160, 4p_{r+1}=10084, d/p_{r+1}=4.030147$
$p_r=2531, d=10208, 4p_{r+1}=10156, d/p_{r+1}=4.020481$
$p_r=2543, d=10300, 4p_{r+1}=10196, d/p_{r+1}=4.040800$
$p_r=2551, d=10238, 4p_{r+1}=10228, d/p_{r+1}=4.003911$
$p_r=2579, d=10384, 4p_{r+1}=10364, d/p_{r+1}=4.007719$
$p_r=2593, d=10440, 4p_{r+1}=10436, d/p_{r+1}=4.001533$
$p_r=2609, d=10538, 4p_{r+1}=10468, d/p_{r+1}=4.026748$
$p_r=2621, d=10554, 4p_{r+1}=10532, d/p_{r+1}=4.008355$
$p_r=2647, d=10720, 4p_{r+1}=10628, d/p_{r+1}=4.034626$
$p_r=2657, d=10686, 4p_{r+1}=10636, d/p_{r+1}=4.018804$
$p_r=2659, d=10678, 4p_{r+1}=10652, d/p_{r+1}=4.009763$
$p_r=2663, d=10730, 4p_{r+1}=10684, d/p_{r+1}=4.017222$
$p_r=2671, d=10748, 4p_{r+1}=10708, d/p_{r+1}=4.014942$
$p_r=2677, d=10796, 4p_{r+1}=10732, d/p_{r+1}=4.023854$
$p_r=2683, d=10770, 4p_{r+1}=10748, d/p_{r+1}=4.008188$
$p_r=2687, d=10794, 4p_{r+1}=10756, d/p_{r+1}=4.014132$
$p_r=2689, d=10822, 4p_{r+1}=10772, d/p_{r+1}=4.018567$
$p_r=2693, d=10912, 4p_{r+1}=10796, d/p_{r+1}=4.042979$
$p_r=2707, d=10884, 4p_{r+1}=10844, d/p_{r+1}=4.014755$
$p_r=2711, d=10968, 4p_{r+1}=10852, d/p_{r+1}=4.042757$
$p_r=2713, d=10920, 4p_{r+1}=10876, d/p_{r+1}=4.016182$
$p_r=2719, d=10978, 4p_{r+1}=10916, d/p_{r+1}=4.022719$
$p_r=2729, d=11010, 4p_{r+1}=10924, d/p_{r+1}=4.031490$
$p_r=2731, d=10984, 4p_{r+1}=10964, d/p_{r+1}=4.007297$
$p_r=2741, d=11094, 4p_{r+1}=10996, d/p_{r+1}=4.035649$
$p_r=2749, d=11130, 4p_{r+1}=11012, d/p_{r+1}=4.042862$
$p_r=2753, d=11150, 4p_{r+1}=11068, d/p_{r+1}=4.029635$
$p_r=2767, d=11200, 4p_{r+1}=11108, d/p_{r+1}=4.033129$
$p_r=2777, d=11212, 4p_{r+1}=11156, d/p_{r+1}=4.020079$
$p_r=2789, d=11258, 4p_{r+1}=11164, d/p_{r+1}=4.033680$
$p_r=2791, d=11298, 4p_{r+1}=11188, d/p_{r+1}=4.039328$
$p_r=2797, d=11238, 4p_{r+1}=11204, d/p_{r+1}=4.012139$
$p_r=2803, d=11412, 4p_{r+1}=11276, d/p_{r+1}=4.048244$
$p_r=2819, d=11418, 4p_{r+1}=11332, d/p_{r+1}=4.030357$
$p_r=2833, d=11560, 4p_{r+1}=11348, d/p_{r+1}=4.074727$
$p_r=2837, d=11484, 4p_{r+1}=11372, d/p_{r+1}=4.039395$
$p_r=2843, d=11496, 4p_{r+1}=11404, d/p_{r+1}=4.032269$
$p_r=2851, d=11570, 4p_{r+1}=11428, d/p_{r+1}=4.049702$
$p_r=2857, d=11608, 4p_{r+1}=11444, d/p_{r+1}=4.057323$
$p_r=2861, d=11698, 4p_{r+1}=11516, d/p_{r+1}=4.063216$
$p_r=2879, d=11778, 4p_{r+1}=11548, d/p_{r+1}=4.079667$
$p_r=2887, d=11634, 4p_{r+1}=11588, d/p_{r+1}=4.015878$
$p_r=2897, d=11722, 4p_{r+1}=11612, d/p_{r+1}=4.037892$
$p_r=2903, d=11700, 4p_{r+1}=11636, d/p_{r+1}=4.022001$
$p_r=2909, d=11700, 4p_{r+1}=11668, d/p_{r+1}=4.010970$
$p_r=2917, d=11884, 4p_{r+1}=11708, d/p_{r+1}=4.060130$
$p_r=2927, d=11910, 4p_{r+1}=11756, d/p_{r+1}=4.052399$
$p_r=2939, d=11930, 4p_{r+1}=11812, d/p_{r+1}=4.039959$
$p_r=2953, d=11940, 4p_{r+1}=11828, d/p_{r+1}=4.037876$
$p_r=2957, d=11920, 4p_{r+1}=11852, d/p_{r+1}=4.022950$
$p_r=2963, d=11932, 4p_{r+1}=11876, d/p_{r+1}=4.018862$
$p_r=2969, d=12068, 4p_{r+1}=11884, d/p_{r+1}=4.061932$
$p_r=2971, d=12072, 4p_{r+1}=11996, d/p_{r+1}=4.025342$
$p_r=2999, d=12110, 4p_{r+1}=12004, d/p_{r+1}=4.035322$
Тут много пропущенных, но последнее пропущенное $p_r=2801$, дальше все простые перекрывают 4-х кратное следующее.
Зато как видно отношение заметно выше первоначального.
И на самом деле за счёт неоптимальности размещения алгоритмом оно может быть и ещё выше.

-- 08.04.2021, 20:02 --

Признаком неоптимальности могут служить например случаи уменьшения интервала при увеличении $p_r$, чего очевидно быть не должно, но это такая особенность алгоритма размещения вычетов.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1513490 писал(а):

На самом деле интервалы на 2 больше, я кажется перестраховался и занизил его. Ну и коэффициент будет чуть больше.
Плюс чуть подправив алгоритм добился ещё чуточку более плотной упаковки вычетов.
$p_r=2609, d=10388, l=4p_{r-2}-2=10362, d/l=1.002509$
...
$p_r=2971, d=12072, 4p_{r+1}=11996, d/4p_{r+1}=4.025342$
$p_r=2999, d=12110, 4p_{r+1}=12004, d/4p_{r+1}=4.035322$
Тут много пропущенных, но последнее пропущенное $p_r=2801$, дальше все простые перекрывают 4-х кратное следующее.
Зато как видно отношение заметно выше первоначального.
И на самом деле за счёт неоптимальности размещения алгоритмом оно может быть и ещё выше.

В последней колонке не поделено на 4.

Цитата:

Признаком неоптимальности могут служить например случаи уменьшения интервала при увеличении $p_r$, чего очевидно быть не должно, но это такая особенность алгоритма размещения вычетов.

Таким образом, у нас не реальная картина, отличная от QEIS?

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1513492 писал(а):

В последней колонке не поделено на 4.

Всё что нужно поделено. Смотрите первые сообщения данной темы, там речь про коэффициент $4$ и относительно другого простого.
А, понял, это я в формуле слева от "=" ошибся, не убрал 4 из знаменателя, спасибо, поправил.

vicvolf в сообщении #1513492 писал(а):

Таким образом, у нас не реальная картина, отличная от QUIS?

Эти интервалы вполне реальные, но не обязательно именно такие, это минимум, реально он может и больше, я не проверял, главное что он не меньше посчитанного. Ну и уж точно числа где встретились интервалы совсем не минимальные. Просто это существующий контрпример к высказанным тут выше гипотезам. Минимальность никто не обещал.

PS. Не надо цитировать всё.

[vorvalm]

Dmitriy40
Не могли бы вы привести начальный или конечный вычет
разности $d=10660$ ?

[Lia]

vicvolf
Вы разучились пользоваться кнопкой "Вставка"?
Замечание за систематический оверквотинг.

vicvolf в сообщении #1513489 писал(а):

Дима - это потрясно!

За фамильярность тоже. Используйте никнеймы на форуме, пожалуйста, даже если вы соседи.

[Dmitriy40]

Ради интереса проверил один интервал, в $2647\#$ именно по найденному смещению действительно в наличии интервал $10720$, с числа $680797083..403252591$ по число $680797083..403263311$. Так что в этом конкретном случае интервал очень даже реальный. Надеюсь в остальных тоже.

vorvalm
Могу, но программу уже поправил и интервалы немного изменились (увеличились). Может Вам хватит показанного выше примера про $2647$? Я его реально проверил через $\gcd(x,2647\#)$, он действительный.

(Длинное число спрячу под тег, осторожно!)

68079708310908782553210723656209421521966759840840
70700368804227081037734137025320476837837372229601
80534631732048356200874733946491975064240725477493
83553557350086522966469848582872390281453007914295
12868516969917445915842809879029621893416789638013
81601903681528155967290990111966266118858679444594
42199330586899874237742250664614943945706450672185
10917677324905581352753460383920866961947378481598
15647331898277500055191785263871006922214660617342
77676363271237240667008620740821938371087587717811
21340623979274522227810509421106528290789074263315
46027365870392313318348457879023186940811332664501
40587687267056435967869905390261607128202880501651
41551373760065695015072142981874614181811829821710
70596778972352784700809567099183917560994643776264
14782790371690403937017394638726252704053135551505
09525910662985456809027935978402816847165136136170
92921833024780197440458084352263913899123848430728
30274659712409259049926131143741735486785823720809
68083550265033658236767717345891047033210724199009
17286987942964638825607896422034726533801042548534
85083429339820574088035287487079631431386762311939
74403252591+10720

[vorvalm]

Dmitriy40
Да мне неважно какой интервал. Желательно с наибольшим
отклонением от 4. Спасибо.

[Dmitriy40]

vorvalm
Ну если тот выше в $2647\#$ длиной $10720$ почему либо не устраивает, то вот нашёл другой (программа снова как-то подправлена, потому не совпадает с предыдущими):
$p_r=2939, d=12696, 4p_{r+1}=11812, d/p_{r+1}=4.299357$, $187532833849345..777613006823061+12696$ — проверен, реально такой.

(Длинное число)

18753283384934520910407788528349458881282094739666
26943423632105999066911479149898710581886913124307
88591999843272960840688250173037250183466664221336
97349979452516161978721069867820770082882252439072
20825920827942267608236544034990118833901768560357
54590008422140924537204768361197428569193602496631
44449604070390928335206748670048018956537986382981
23783770760013763245667548400989800711022341803653
18516170063552427586550146534692903968924856555789
79189470471536962016331935803416717187174339247315
66714999933528418655722051241505599506899038141145
32295690929616263953939735410477014730547918775139
33169916027119118883002341040807116374976829343287
06304868865568133493513662143009549490009476322463
98453057582423146229071794674025029686967724659114
64606434228102812102393911966357912791689648464546
29958288952294697484637822288183713200880732257119
71285842524267839193795875363476487286515828478871
92950874322091856570491530880473759474832940897042
40333665472786652536086581405401050100844220296695
18680873584161041572814945198055053350575597741018
27023607534941042819948692872143067366458502859533
50016436043280582084381003877079469206185871036590
55862666671155674876845718699314422544802488161731
36299096842409800959551296894779252467776130068230
61+12696

-- 09.04.2021, 00:38 --

Запускал предыдущий промежуточный вариант программы в коротких отрезках около $2600\#$, $3300\#$, $5000\#$, $9000\#$, хотел посмотреть на динамику отношения, так вот оно такое ощущение что растёт. Сначала было около $4.02$, потом $4.1$, дальше $4.2$, а потом и до $4.3$ доросло. С колебаниями, но средний тренд вполне просматривается.
Последний же вариант программы влёгкую выдал например
$p_r=5051, d=23478, 4p_{r+1}=20236, d/p_{r+1}=4.640838$, $799056846507377..130775199474893+23478$
$p_r=9059, d=45812, 4p_{r+1}=36268, d/p_{r+1}=5.052608$, $243426204189592..759762385267599+45812$ — отношение точно превысило $5.0$!

(Очень длинное число)

24342620418959287467980323275835392143228429909100
75696810563977729360142411994919401400985479352846
90747661278083888471532096153748410159933438245078
28954471687026409309181714206923986615918719907589
11995894176438599578708790520850870324800028225691
70114431712704599063056902205833530224509302936389
36361126087754844557723547296658940116887845263562
41501569276738265958347490287704018168090806716696
28234302901739695654344843024469539354025957981355
47011699120165011192240721550958892172463325580455
89600976238751121683246952357911144884211444101539
95077411717949124691160849761789775891836486797735
15552386671932821473767769503741759328093425384459
54338378082141323890148724028930865346537997869039
58244517720406622061214140075465797696937296114909
66184097393181182261041503354500082743872603970857
36081152301883675537768948798557375234445777314321
59980070981279622053126815479207782303160700132842
29818273867767782175403239898038001753122044141778
62139287565501722204148963681002046768988583408017
88184403638590320477011723647723953356397892943860
16750143421220408188129193670298419387520203891493
15716431205882284969427383116178295740725583828976
41556070023616836982783984274106316108320838344083
70827715289322763043720908584370441822516673155579
95262792903209572908813375440783610975431725691285
60976265673283562443900072629104076939087434882117
75524560954368566248157708100793274033290527212492
77202508311102703402056308491604323801126016900568
07815843595279748490767449467218134505859464387059
61569198820002919579647640730384282158632007949840
22802802064769120733675042710145195904946433750845
49432093384670358681643931020997212354073369399928
21955940098080261953856248174307495187620849437083
56273205403955670917953205987804323617870895017740
03049962798583439449306107986729770542211021694200
18174422996715994568780926399463759287247502197340
47654978172947012292425728494553305824019032060230
66860154120827626256956030634944114728417869424908
08849865061500207857227180611149703368921590294192
95934424064741722132303728225954248873959032807311
54247825702454647941385951745110677011473742457803
71964422094466516192557374723675215753641286029566
90932515698822975973591230250761061076614728466337
06305101885891124221058378520463603076003020980408
03955496072168132171850289187227687003472432119378
23591503897038125077827861327979488564992236116216
87997798238240264757677532742615814226724238298703
13087883794065870639881989110045005071864688619768
30274814887357669726795850357679759337130064595197
31815762561883936455878820655658951061774650233289
48134823584287511365415804042929313954409149296921
68463099612820726975007022420020050790075569456546
41379733860100220099820132363476695548451015188384
05821835237838645314461782427788380825382096774694
04534906838460407307195688614250882048935151163763
41945217523664805261579089676936956726460095943684
83897514374031077366779684767508052549241172929814
26453044018624512218667293108650850123852948751456
50305852548325222346781088512398724016939578759648
15451309924577940842858432840840651900061517023227
61253018076656270567770822327591323277498717515284
52524110353584885743183732420089801407443521560405
09676614851562161312781482931083889575611313758918
91466511459272427040756295668245061952813594239107
12109065844801566156114869645336003320885154685765
18297604243976006467820061901621245336197196072402
96339870805007548867436306634404718308427418419543
21458038507548872953193378914796189360001282369253
69710685279800907661592585715629309210155186817877
56794155115612021473157788064267110066674772543739
81370231889885120001361582003724877227004978547134
00424664925547514095242194121682766306521170542111
59315218373642346459776882723535926403353155179465
83920105835511535810459551493522258302426624952596
60114709861789590679337520270988054592886547151491
18270116651119509998194315294591415309466298525265
13598455190967421252572759762385267599+45812

Так что вовсе оно не стремится к $4$, это лишь у меня алгоритм недостаточно хорош. Скорее оно медленно, но растёт.

vicvolf
Для этого же числа $p_r=9059$ отношение $d/(4 p_{r-2}-2)=45812/(4\cdot9043-2)=1.2665745$, уже ну совсем не 0.3%.

[vorvalm]

Dmitriy40

Можно только поражаться колоссальным ресурсом вашего ПК,
но вернемся чуть назад. Меня интересует $p_r\#$, где впервые
появляется $c \geqslant 4.$

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1513564 писал(а):

Меня интересует $p_r\#$, где впервые
появляется $c \geqslant 4.$

Этого я посчитать не могу:

Dmitriy40 в сообщении #1513485 писал(а):

Ещё раз специально повторю: мой алгоритм не выдаёт именно максимально плотное размещение! Лишь некоторое приближение. Потому указанные выше цифры не являются минимальными! Скорее всего минимальные контрпримеры в 1.2-1.5 раза меньше.

Dmitriy40 в сообщении #1513490 писал(а):

... реально самое плотное размещение будет ещё на несколько процентов плотнее (например интервал $106$ вместо реальных $53\#$ у меня появляется лишь на $67\#$, а интервал $926$ вместо реальных $269\#$ лишь на $359\#$).

Dmitriy40 в сообщении #1513490 писал(а):

Признаком неоптимальности могут служить например случаи уменьшения интервала при увеличении $p_r$, чего очевидно быть не должно, но это такая особенность алгоритма размещения вычетов.

Для нахождения гарантированно минимального $p_r$ где впервые появляется некий интервал надо перебрать значительную часть от всех вариантов расстановок вычетов, а это порядка $\varphi(p_r\#)$, что больше $10^{500}$ и абсолютно нереально. Как этот перебор оптимизировать без ухудшения плотности размещения я не знаю.

Единственное в чём я уверен что он появляется точно не дальше этого:
$p_r=1997, d=8034, 4p_{r+1}=7996, d/p_{r+1}=4.019010$, $316367053071733..624714112505847+8034$

(Снова длинное число)

31636705307173316605161655451699792984859189015341
69072221543481515242117991568590279579413588243619
95035824282470017638067019564653920900443061640436
38860353115174141798130676701883881281865842800578
01268956448279163691253788111420321014251227504689
62478648052442301816062227600919256052028261675054
22719524165268052087859024533536122035933033193796
44959869244062654498215189115622619398818431857867
20563176609747185078517078147815461790893218397428
08865058782847231902094013178086782428515197359861
56510140110457698353584596398414720554353986617796
74045945802508268423606975125440936914826917939603
14459995798558529991295987786847772621376715801725
47330355519266870413149678606353661087090534642285
47140171070064297024214381793949661407631107675119
46282576195854584548972510035697235225961613626878
915021970402047326593335624714112505847+8034

[vicvolf]

Dmitriy40 По идеи $d <4p_{r+1}$ или $d <4p_{r-2}$. Поясню почему. Вы уже проверяли, что моя гипотеза справедлива и на интервале $(1,p^2_{r+1})$ выполняется $d(p^2_{r+1}) \leq 2p_{r-1}$. Равенство достигается при $p_r=11$ и $d(169)=14$. При $p_r>11$ выполняется $d(p^2_{r+1}) < 2p_{r-1}$.

В ПСВ$p_{r-1}\#$ на интервале $(1,p^2_r)$ находятся только простые числа, поэтому при переходе к ПСВ$p_{r}\#$ никакие вычеты не удаляются и расстояния между вычетами не меняется. По моей гипотезе для него выполняется $d(p^2_{r}) \leq 2p_{r-2}$.

А вот вне этого интервала могут находиться составные числа, которые могут удаляться, если они кратны $p_r$. Первым таким числом является граница интервала $p^2_r$. Следующим удаляемым вычетом будет $p_r \cdot p_{r+1}$, далее $p_r \cdot p_{r+2}$ и.т.д.

Обратите внимание, на расстояние между удаляемыми вычетами. Так как $p_r+1$ -четно, то вычет $p_r(p_r+1)$ был удален раньше. Так что, если $p_r,p_{r+1}$ - близнецы, то минимальное расстояние между удаляемыми вычетами может быть $(p_{r+1}-p_r)p_r=2p_r>2p_{r-1}$, т.е. достаточно большое.

Какое же максимальное расстояние между вычетами станет в ПСВ$p_{r}\#$? В наибольшем случае объединится максимальное расстояние $2p_{r-1}$ и расстояние немного меньше $2p_{r-1}-2$, т.е. получим максимальное расстояние $4p_{r-1}-2$. Таких расстояний в ПСВ$p_{r}\#$, как минимум два, так имеются симметричные вычеты в ПСВ.

У Вас получается расстояние больше $4p_{r-1}-2$, т.е. должны объединяться три интервала или более, что быть не может, так как как я показал, большое расстояние между удаляемыми вычетами.

Для примера возьму ПСВ$11\#$. Оно состоит из вычетов $1,13,......,113,127,...139,149,...,2310$. Я не выделил симметричные, но это в данном случае не важно. На интервале $(1,121)$ никакие вычеты не удалялись. Удалился вычет кратный $11 -121$ и объединились расстояния $113-121$ и $121-127$ получилось максимальное $d=14$. Кроме того удалился вычет $11 \cdot 13=143$ и объединились расстояния $139-143$ и $143-149$ и получилось расстояние равное $10$. Но обратите на каком они находятся расстоянии $113$ и $139$, $139-113=26>>14$, поэтому они никак не могут объединиться.

[Dmitriy40]

vicvolf
Ну раз существуют вон аж сколько контрпримеров, значит Вы очевидно в чём-то ошибаетесь. Например в этом:

vicvolf в сообщении #1513578 писал(а):

далее $p_r \cdot p_{r+2}$

Следующий не обязательно будет такой, сюда может влезть $p_{r+1}^2$ если оно вдруг меньше $p_r \cdot p_{r+2}$, а такое вполне бывает хотя бы для $p_r=\{2,5,11,17,19,29,41,43,59,71,79,83\}$.

Но давайте посмотрим на что делятся все те числа внутри интервала $8034$ из $1997\#$ с отношением $d/(4 p_{r-2}-2)=8034/(4\cdot1987-2)=1.011075$:

(Много чисел!)

Список наименьших простых делителей каждого нечётного числа в интервале 316367053071733..624714112505847+8034, по 20 на строку, прочерк на правой границе означает что наименьший простой делитель больше $10^9$ и его искать не стал ибо слишком долго, хотя число и вроде бы составное:
59167,7,3,17,5,3,23,11,3,5,41,3,13,37,3,7,61,3,11,5,3
131,7,3,5,13,3,101,29,3,419,59,3,487,5,3,7,17,3,5,11
3,439,7,3,1481,89,3,43,5,3,11,23,3,5,53,3,7,109,3,97
353,3,257,5,3,223,281,3,5,83,3,19,11,3,23,1499,3,7,5,3
811,157,3,5,7,3,37,17,3,13,19,3,191,5,3,47,229,3,5,31
3,227,13,3,17,7,3,53,5,3,199,433,3,5,29,3,11,179,3,7
23,3,79,5,3,701,7,3,5,103,3,73,41,3,89,67,3,61,5,3
7,13,3,5,739,3,509,7,3,11,181,3,83,5,3,17,97,3,5,167
3,7,953,3,1433,643,3,13,5,3,1607,11,3,5,163,3,43,347,3,193
13,3,7,5,3,19,503,3,5,7,3,401,31,3,631,1093,3,37,5,3
151,29,3,5,11,3,13,59,3,937,7,3,23,5,3,11,149,3,5,13
3,197,809,3,7,269,3,137,5,3,29,7,3,5,37,3,47,11,3,1847
17,3,19,5,3,7,443,3,5,619,3,541,7,3,31,41,3,17,5,3
173,19,3,5,467,3,7,743,3,67,11,3,499,5,3,109,941,3,5,307
3,11,131,3,13,31,3,7,5,3,331,17,3,5,7,3,41,13,3,19
1217,3,337,5,3,43,877,3,5,199,3,211,89,3,11,7,3,29,5,3
61,727,3,5,251,3,167,23,3,7,47,3,659,5,3,103,7,3,5,1553
3,757,17,3,241,37,3,11,5,3,7,151,3,5,1021,3,19,7,3,17
277,3,13,5,3,149,1783,3,5,11,3,7,53,3,71,13,3,47,5,3
11,61,3,5,59,3,1543,821,3,1777,1019,3,7,5,3,157,23,3,5,7
3,13,11,3,29,839,3,313,5,3,17,311,3,5,13,3,1613,761,3,23
7,3,709,5,3,53,547,3,5,911,3,587,19,3,7,11,3,1009,5,3
13,7,3,5,17,3,11,97,3,1663,127,3,1123,5,3,7,37,3,5,107
3,17,7,3,881,23,3,431,5,3,19,31,3,5,191,3,7,43,3,11
439,3,853,5,3,1399,463,3,5,19,3,29,13,3,269,17,3,7,5,3
163,11,3,5,7,3,769,379,3,653,1721,3,11,5,3,461,71,3,5,487
3,1693,211,3,347,7,3,19,5,3,37,13,3,5,11,3,1283,67,3,7
113,3,41,5,3,11,7,3,5,29,3,677,157,3,229,227,3,13,5,3
7,59,3,5,31,3,107,7,3,73,13,3,359,5,3,251,257,3,5,89
3,7,263,3,19,241,3,71,5,3,557,569,3,5,239,3,13,17,3,1109
11,3,7,5,3,751,43,3,5,7,3,11,47,3,17,197,3,1289,5,3
59,331,3,5,41,3,23,601,3,613,7,3,101,5,3,13,29,3,5,337
3,19,73,3,7,449,3,523,5,3,83,7,3,5,179,3,593,31,3,47
19,3,1087,5,3,7,11,3,5,271,3,67,7,3,13,79,3,11,5,3
977,317,3,5,367,3,7,13,3,443,53,3,43,5,3,23,1409,3,5,11
3,827,1277,3,127,1627,3,7,5,3,11,109,3,5,7,3,17,19,3,31
313,3,311,5,3,1201,13,3,5,71,3,467,11,3,223,7,3,1297,5,3
1249,23,3,5,859,3,139,41,3,7,17,3,13,5,3,19,7,3,5,1489
3,1279,929,3,23,11,3,17,5,3,7,499,3,5,19,3,11,7,3,173
107,3,227,5,3,1051,283,3,5,37,3,7,541,3,1523,1259,3,59,5,3
47,17,3,5,13,3,131,907,3,11,23,3,7,5,3,1447,83,3,5,7
3,43,691,3,1231,631,3,167,5,3,13,11,3,5,101,3,1471,233,3,29
7,3,11,5,3,263,89,3,5,53,3,1549,17,3,7,1367,3,887,5,3
389,7,3,5,11,3,157,419,3,13,41,3,67,5,3,7,479,3,5,23
3,983,7,3,787,139,3,107,5,3,607,811,3,5,47,3,7,11,3,83
37,3,23,5,3,31,199,3,5,281,3,41,79,3,277,59,3,7,5,3
17,13,3,5,7,3,19,1667,3,109,11,3,97,5,3,89,31,3,5,67
3,11,71,3,211,7,3,13,5,3,43,193,3,5,17,3,563,223,3,7
13,3,1427,5,3,1013,7,3,5,1151,3,17,829,3,11,857,3,433,5,3
7,733,3,5,29,3,13,7,3,163,1511,3,113,5,3,863,11,3,5,13
3,7,19,3,373,17,3,11,5,3,743,37,3,5,1733,3,383,23,3,641
457,3,7,5,3,13,293,3,5,7,3,809,269,3,41,47,3,1423,5,3
11,1129,3,5,1873,3,1429,191,3,137,7,3,61,5,3,181,17,3,5,19
3,53,11,3,7,83,3,241,5,3,79,7,3,5,971,3,1867,13,3,43
73,3,47,5,3,7,23,3,5,797,3,31,7,3,449,11,3,19,5,3
29,107,3,5,1373,3,7,17,3,23,149,3,409,5,3,953,13,3,5,353
3,1153,31,3,17,173,3,7,5,3,1381,709,3,5,7,3,1439,101,3,11
67,3,13,5,3,571,937,3,5,79,3,59,163,3,19,7,3,41,5,3
569,11,3,5,509,3,947,53,3,7,523,3,11,5,3,17,7,3,5,1637
3,13,1823,3,31,617,3,29,5,3,7,179,3,5,11,3,37,7,3,131
307,3,89,5,3,11,197,3,5,17,3,7,127,3,1291,31,3,941,5,3
13,1327,3,5,23,3,17,11,3,1303,19,3,7,5,3,61,181,3,5,7
3,229,613,3,839,29,3,23,5,3,647,43,3,5,1103,3,109,151,3,13
7,3,103,5,3,379,1063,3,5,59,3,11,13,3,7,769,3,17,5,3
41,7,3,5,1493,3,419,19,3,491,359,3,599,5,3,7,61,3,5,73
3,269,7,3,11,1049,3,37,5,3,1069,13,3,5,83,3,7,47,3,293
97,3,1741,5,3,19,11,3,5,431,3,113,29,3,1567,853,3,7,5,3
911,67,3,5,7,3,313,257,3,1031,13,3,283,5,3,479,751,3,5,11
3,29,17,3,47,7,3,1229,5,3,11,263,3,5,1709,3,13,373,3,7
43,3,19,5,3,23,7,3,5,13,3,1483,11,3,401,1451,3,83,5,3
7,19,3,5,1601,3,421,7,3,1019,433,3,463,5,3,13,1583,3,5,29
3,7,107,3,577,11,3,397,5,3,17,23,3,5,1361,3,11,461,3,19
101,3,7,5,3,73,59,3,5,7,3,643,1487,3,13,37,3,1237,5,3
137,131,3,5,17,3,43,13,3,11,7,3,353,5,3,67,683,3,5,61
3,17,271,3,7,41,3,619,5,3,997,7,3,5,31,3,19,607,3,1987
23,3,11,5,3,7,13,3,5,43,3,1657,7,3,97,17,3,1217,5,3
547,409,3,5,11,3,7,701,3,37,193,3,13,5,3,11,233,3,5,1193
3,101,67,3,79,13,3,7,5,3,239,349,3,5,7,3,31,11,3,151
673,3,967,5,3,347,17,3,5,23,3,13,19,3,1499,7,3,211,5,3
139,71,3,5,13,3,773,31,3,7,11,3,23,5,3,43,7,3,5,47
3,11,661,3,257,587,3,919,5,3,7,97,3,5,331,3,1951,7,3,1597
191,3,29,5,3,1579,223,3,5,19,3,7,317,3,11,283,3,1571,5,3
37,163,3,5,53,3,47,89,3,13,337,3,7,5,3,311,11,3,5,7
3,23,13,3,73,467,3,11,5,3,113,787,3,5,103,3,67,37,3,1949
7,3,59,5,3,17,19,3,5,11,3,929,109,3,7,503,3,53,5,3
11,7,3,5,557,3,149,23,3,29,151,3,1117,5,3,7,571,3,5,17
3,1669,7,3,19,1931,3,13,5,3,23,41,3,5,137,3,7,73,3,719
13,3,31,5,3,277,883,3,5,1087,3,37,281,3,1913,11,3,7,5,3
431,1091,3,5,7,3,11,29,3,233,17,3,41,5,3,727,23,3,5,13
3,19,383,3,61,7,3,17,5,3,241,1889,3,5,71,3,29,197,3,7
19,3,617,5,3,13,7,3,5,1223,3,191,83,3,307,653,3,173,5,3
7,11,3,5,397,3,1879,7,3,167,251,3,11,5,3,31,1051,3,5,269
3,7,593,3,13,23,3,127,5,3,107,521,3,5,11,3,53,13,3,59
79,3,7,5,3,11,31,3,5,7,3,137,17,3,541,463,3,67,5,3
103,47,3,5,1399,3,797,11,3,17,7,3,1553,5,3,19,13,3,5,37
3,199,97,3,7,293,3,179,5,3,109,7,3,5,19,3,193,227,3,1033
11,3,13,5,3,7,1201,3,5,1543,3,11,7,3,457,13,3,23,5,3
17,29,3,5,67,3,7,1307,3,317,823,3,19,5,3,991,73,3,5,31
3,13,53,3,11,157,3,7,5,3,29,19,3,5,7,3,1459,41,3,1277
487,3,43,5,3,131,11,3,5,1249,3,17,449,3,197,7,3,11,5,3
13,577,3,5,149,3,23,71,3,7,37,3,151,5,3,53,7,3,5,11
3,31,47,3,271,17,3,389,5,3,7,241,3,5,1297,3,59,7,3,13
1279,3,17,5,3,971,101,3,5,1861,3,7,11,3,1259,1231,3,29,5,3
877,83,3,5,107,3,19,547,3,47,1187,3,7,5,3,23,17,3,5,7
3,251,563,3,37,11,3,631,5,3,1831,13,3,5,643,3,11,79,3,1213
7,3,73,5,3,1409,619,3,5,193,3,43,1663,3,7,29,3,13,5,3
1151,7,3,5,419,3,1801,17,3,11,13,3,467,5,3,7,139,3,5,1787
3,41,7,3,17,31,3,101,5,3,61,11,3,5,43,3,7,229,3,683
263,3,11,5,3,383,1163,3,5,13,3,107,1759,3,53,73,3,7,5,3
19,89,3,5,7,3,1753,1747,3,103,23,3,587,5,3,11,401,3,5,19
3,283,29,3,691,7,3,31,5,3,47,61,3,5,1693,3,523,11,3,7
71,3,1367,5,3,1723,7,3,5,17,3,29,37,3,13,113,3,19,5,3
7,1181,3,5,1097,3,17,7,3,349,11,3,1453,5,3,79,19,3,5,23
3,7,1447,3,41,179,3,239,5,3,89,491,3,5,1153,3,331,311,3,67
17,3,7,5,3,313,13,3,5,7,3,71,103,3,11,223,3,17,5,3
31,641,3,5,47,3,37,1471,3,659,7,3,13,5,3,1697,11,3,5,1997
3,73,181,3,7,13,3,11,5,3,167,7,3,5,79,3,173,1621,3,409
1301,3,1619,5,3,7,41,3,5,11,3,13,7,3,1049,127,3,1103,5,3
11,739,3,5,13,3,7,359,3,43,19,3,521,5,3,257,29,3,5,1069
3,1093,11,3,191,107,3,7,5,3,13,457,3,5,7,3,1021,23,3,17
1549,3,379,5,3,29,1061,3,5,1993,3,1039,43,3,139,7,3,37,5,3
23,211,3,5,31,3,11,19,3,7,601,3,1559,5,3,593,7,3,5,53
3,449,13,3,179,47,3,733,5,3,7,149,3,5,37,3,163,7,3,11
1423,3,859,5,3,19,23,3,5,41,3,7,1319,3,1531,1429,3,1373,5,3
67,11,3,5,17,3,31,997,3,23,599,3,7,5,3,193,373,3,5,7
3,17,727,3,71,1291,3,13,5,3,41,1381,3,5,11,3,61,31,3,367
7,3,19,5,3,11,919,3,5,967,3,353,1303,3,7,17,3,89,5,3
73,7,3,5,647,3,13,11,3,709,29,3,17,5,3,7,137,3,5,13
3,1321,7,3,109,37,3,59,5,3,1171,79,3,5,113,3,7,61,3,19
11,3,677,5,3,13,17,3,5,1973,3,11,41,3,1667,281,3,7,5,3
149,103,3,5,7,3,347,331,3,127,31,3,757,5,3,229,151,3,5,163
3,907,431,3,11,7,3,23,5,3,829,887,3,5,977,3,19,13,3,7
131,3,83,5,3,563,7,3,5,809,3,53,101,3,17,19,3,11,5,3
7,337,3,5,167,3,29,7,3,421,43,3,31,5,3,439,13,3,5,11
3,7,173,3,181,59,3,113,5,3,11,509,3,5,1237,3,23,199,3,61
761,3,7,5,3,17,107,3,5,7,3,607,11,3,1907,13,3,71,5,3
1901,863,3,5,29,3,359,47,3,79,7,3,1193,5,3,307,127,3,5,17
3,13,23,3,7,11,3,1733,5,3,19,7,3,5,13,3,11,53,3,73
61,3,491,5,3,7,191,3,5,19,3,131,7,3,47,97,3,1493,5,3
13,379,3,5,293,3,7,37,3,11,17,3,479,5,3,1361,31,3,5,43
3,463,179,3,89,389,3,7,5,3,53,11,3,5,7,3,1637,1109,3,13
461,3,11,5,3,227,19,3,5,1117,3,139,13,3,23,7,3,271,5,3
29,17,3,5,11,3,1451,983,3,7,821,3,1091,5,3,11,7,3,5,71
3,37,59,3,19,181,3,569,5,3,7,13,3,5,1483,3,281,7,3,41
23,3,61,5,3,43,367,3,5,31,3,7,17,3,1877,691,3,13,5,3
317,1567,3,5,443,3,673,157,3,17,11,3,7,5,3,47,53,3,5,7
3,11,839,3,661,1871,3,29,5,3,71,383,3,5,233,3,13,877,3,1487
7,3,641,5,3,163,991,3,5,13,3,31,1033,3,7,101,3,191,5,3
17,7,3,5,223,3,79,137,3,53,139,3,23,5,3,7,11,3,5,197
3,179,7,3,239,29,3,11,5,3,127,1013,3,5,17,3,7,19,3,1583
109,3,41,5,3,1601,1481,3,5,11,3,17,1811,3,13,397,3,7,5,3
11,953,3,5,7,3,113,13,3,1789,1433,3,1223,5,3,19,617,3,5,59
3,23,11,3,31,7,3,149,5,3,283,73,3,5,19,3,47,43,3,7
947,3,17,5,3,61,7,3,5,151,3,89,29,3,193,11,3,293,5,3
7,613,3,5,41,3,11,7,3,599,421,3,13,5,3,199,17,3,5,941
3,7,1283,3,137,13,3,881,5,3,23,19,3,5,439,3,103,127,3,11
37,3,7,5,3,41,61,3,5,7,3,13,773,3,107,1699,3,31,5,3
83,11,3,5,13,3,257,17,3,19,7,3,11,5,3,577,23,3,5,29
3,547,911,3,7,167,3,233,5,3,13,7,3,5,11,3,197,719,3,23
733,3,827,5,3,7,43,3,5,1609,3,647,7,3,37,1289,3,47,5,3
509,173,3,5,503,3,7,11,3,13,311,3,263,5,3,17,59,3,5,103
3,157,13,3,313,19,3,7,5,3,31,37,3,5,7,3,241,353,3,743
11,3,373,5,3,787,29,3,5,17,3,11,113,3,1307,7,3,1187,5,3
97,13,3,5,463,3,17,193,3,7,73,3,43,5,3,29,7,3,5,227
3,461,19,3,11,71,3,13,5,3,7,47,3,5,23,3,349,7,3,1129
13,3,229,5,3,37,11,3,5,61,3,7,1213,3,383,43,3,11,5,3
19,859,3,5,811,3,13,109,3,1163,41,3,7,5,3,337,251,3,5,7
3,1097,37,3,619,149,3,443,5,3,11,17,3,5,31,3,71,97,3,101
7,3,29,5,3,13,587,3,5,757,3,41,11,3,7,557,3,19,5,3
643,7,3,5,1607,3,23,139,3,83,1669,3,1063,5,3,7,19,3,5,401
3,43,7,3,13,11,3,277,5,3,223,1031,3,5,521,3,7,13,3,17
29,3,1181,5,3,103,131,3,5,571,3,61,23,3,19,1459,3,7,5,3
79,487,3,5,7,3,53,31,3,11,1039,3,59,5,3,23,13,3,5,829
3,761,239,3,1009,7,3,1061,5,3,17,11,3,5,1093,3,211,241,3,7
797,3,11,5,3,67,7,3,5,73,3,19,61,3,41,13,3,541,5,3
7,23,3,5,11,3,227,7,3,31,19,3,883,5,3,11,89,3,5,79
3,7,151,3,23,683,3,37,5,3,43,229,3,5,13,3,29,11,3,379
31,3,7,5,3,109,857,3,5,7,3,97,53,3,1979,17,3,131,5,3
13,101,3,5,37,3,409,19,3,71,7,3,17,5,3,433,41,3,5,673
3,11,769,3,7,661,3,251,5,3,353,7,3,5,29,3,823,163,3,13
331,3,31,5,3,7,17,3,5,751,3,977,7,3,11,373,3,41,5,3
47,593,3,5,19,3,7,659,3,59,701,3,601,5,3,73,11,3,5,23
3,1301,1613,3,1933,349,3,7,5,3,271,13,3,5,7,3,307,17,3,43
257,3,19,5,3,139,167,3,5,11,3,821,337,3,17,7,3,13,5,3
11,19,3,5,277,3,67,211,3,7,13,3,157,5,3,31,7,3,5,41
3,239,11,3,113,1453,3,503,5,3,7,53,3,5,47,3,13,7,3,19
173,3,269,5,3,17,31,3,5,13,3,7,577,3,103,11,3,1489,5,3
41,1171,3,5,491,3,11,59,3,37,479,3,7,5,3,13,79,3,5,7
3,47,457,3,53,499,3,197,5,3,181,563,3,5,653,3,17,23,3,11
7,3,71,5,3,523,37,3,5,137,3,1319,149,3,7,19,3,29,5,3
23,7,3,5,83,3,59,13,3,397,17,3,11,5,3,7,1427,3,5,31
3,1123,7,3,151,1229,3,17,5,3,983,43,3,5,11,3,7,103,3,739
1523,3,97,5,3,11,13,3,5,157,3,317,19,3,73,29,3,7,5,3
37,17,3,5,7,3,233,11,3,23,53,3,13,5,3,1327,179,3,5,127
3,31,1321,3,29,7,3,67,5,3,19,199,3,5,853,3,719,37,3,7
11,3,47,5,3,773,7,3,5,19,3,11,17,3,79,23,3,43,5,3
7,271,3,5,13,3,137,7,3,17,113,3,421,5,3,521,677,3,5,97
3,7,29,3,11,41,3,19,5,3,13,181,3,5,67,3,293,937,3,241
43,3,7,5,3,101,11,3,5,7,3,29,389,3,31,151,3,11,5,3
17,109,3,5,23,3,41,367,3,13,7,3,439,5,3,71,47,3,5,11
3,263,13,3,7,31,3,23,5,3,11,7,3,5,17,3,-

Видно что $1997$ объединило два меньших интервала, как впрочем и каждое из $1901\ldots1993$, т.е. каждое из них появилось лишь только справа или только слева от $1997$, но не одновременно и там и там. Впрочем торможу, очевидно же, что и слева и справа может оказаться только число меньшее половины от $p_r$.

Разумеется я согласен что каждое простое объединяет не более двух интервалов, но Вы очевидно ошибаетесь с оценкой их размера.
Чисто теоретически я (пока?) не вижу запрета соседним интервалам быть $d_{max}$ и $d_{max}-2$ (или $d_{max}-4$) и тогда если в их общую границу попадёт следующее простое (в какой-то степени), то максимальный интервал почти удвоится за один шаг. Конечно это очень маловероятно, но запрещено ли? Не уверен.

-- 09.04.2021, 13:42 --

Dmitriy40 в сообщении #1513591 писал(а):

Чисто теоретически я (пока?) не вижу запрета соседним интервалам быть $d_{max}$ и $d_{max}-2$ (или $d_{max}-4$) и тогда если в их общую границу попадёт следующее простое (в какой-то степени), то максимальный интервал почти удвоится за один шаг.

Мда, реально такого конечно не наблюдается, нашёл такие (для степени простого указан интервал слева от неё, справа и их сумма, лишь несколько примеров):
$\tiny{p_r=587:\;\;p_r^1:586+6=592;\;\; p_r^{26}:12+94=106}$
$\tiny{p_r=1733:\;\;p_r^1:1732+8=1740;\;\; p_r^{121}:106+50=156}$
$\tiny{p_r=3169:\;\;p_r^1:3168+12=3180;\;\; p_r^{85}:146+4=150;\;\; p_r^{299}:110+30=140}$
$\tiny{p_r=7177:\;\;p_r^1:7176+10=7186;\;\; p_r^{121}:138+52=190;\;\; p_r^{359}:122+28=150}$
Интересно есть ли запрет и насколько сильный ...

Отдельно забавно что бывают и одинаковые интервалы слева и справа, но конечно не максимальные, например:
$p_r=3347:\;\;p_r^{372}:60+60=120$
$p_r=6763:\;\;p_r^{11}:54+54=108$

[vorvalm]

Dmitriy40
Я пробовал завести начальное число для d= 10720 в wolframalfa,
но оно не проходит. Мне надо найти остаток от деления этого числа
на 2657. Спасибо.

[Dmitriy40]

vorvalm
Пожалуйста.