Натяжение проводника

[dovlato]

Тонкий замкнутый проводник с током $I$ образует выпуклый плоский жёсткий контур.
Контур находится в однородном магнитном поле c индукцией $B$, линии которого
перпендикулярны плоскости контура. Длина проводника $L$.
Найти среднюю величину продольных сил натяжения проводника.

[svv]

(Оффтоп)

$\frac{2IBS}{cL}$, где $S$ — площадь контура, а $L$ — его длина (СГС).

[Ignatovich]

dovlato
О каком усреднении идет речь: по длине, по углу?
У меня не получается ответ, который привел svv.

[svv]

(Оффтоп)

Я усреднял по длине. Решал так.

Обозначения. Контур в плоскости $Oxy$ (горизонтальной). Магнитное поле направлено по оси $Oz$ (снизу вверх). Положительным будем считать направление обхода контура против часовой стрелки, если смотреть сверху. Введём на контуре как кривой натуральный параметр $s$, он растёт в положительном направлении обхода. Разобъём контур на кусочки. Силой натяжения $\mathbf T(s)$ на стыке (который можно обеспечить в любом месте) назовем силу, с которой следующий (в положительном направлении) кусочек действует на данный.

Рассмотрим кусочек $a\leqslant s \leqslant b$. Условие его равновесия:
$-\mathbf T(a)+\mathbf T(b)+\frac I c\int\limits_a^b d\mathbf r\times\mathbf B=0 $
Интегрируя, получим $\mathbf T(s)=\frac {IB} c\mathbf e_z\times \mathbf r(s)+\mathbf C,$ где $\mathbf C$ — постоянный вектор.
Продольная составляющая получается скалярным умножением на единичный касательный вектор $\frac{d\mathbf r}{ds}$:
$T=\frac {IB} c\mathbf e_z\cdot(\mathbf r\times \frac{d\mathbf r}{ds})+\mathbf C\cdot\frac{d\mathbf r}{ds}$

При усреднении интеграл от второго слагаемого даст нуль. А в первом слагаемом сформируется ориентированная площадь контура
$S=\frac 1 2\mathbf e_z\cdot\oint \mathbf r\times d\mathbf r$

[dovlato]

Интересно. У меня на полуинтуитивном уровне, при усреднении по углу получилось

$$f=\frac{ILB}{2\pi}$$

Попробую на днях это как-то обосновать.
Формула, полученная svv, по-моему, чувства несогласия не вызывает. Действительно, если взять, например, очень узкий прямой контур, с площадью, стремящейся к нулю, то и сила натяжения в нём, усреднённая по длине, будет также стремиться к нулю.

[svv]

Ну, и для контура-окружности у нас получается совпадение: мои $\frac {2S}L$ равны Вашим $\frac L{2\pi}$

[dovlato]

Да. А на прямоугольниках уже различаются - но снова так, как и должно быть.

[AnatolyBa]

Что-то у меня не складывается. Если взять прямоугольник и усреднить силу натяжения по длине, то у меня получается другой коэффициент.
Правильно ли усреднять силу натяжения, как скалярное произведение $\int \mathbf T d\mathbf r$?
Получается, что если, скажем, в двух одинаковых по величине, но противоположно направленных элементах контура действует одинаковая сила натяжения, то средняя сила равна нулю, но это ведь не правильно.
Тут, правда, еще с направлением силы натяжения надо аккуратно разобраться

[svv]

AnatolyBa
Поделим наш контур на кусочки, получится такой замкнутый поезд из вагончиков. Номера вагонов растут против часовой стрелки, глядя сверху. Сила, с которой четвёртый вагон действует на пятый, и сила, с которой пятый вагон действует на четвёртый, противоположны. Какую из них считать силой натяжения? Я принял, что $\mathbf T_n$ — это сила, с которой $(n+1)$-й вагончик («следующий») действует на $n$-й («данный»). В случае круглого контура при надлежащем выборе направления магнитного поля и тока все $\mathbf T_n$ будут направлены против часовой стрелки, как и $d\mathbf r$, так что усреднение не даст нуль. А то, что ищется именно продольная компонента — это по условиям задачи:

dovlato в сообщении #1509091 писал(а):

Найти среднюю величину продольных сил натяжения проводника.

$\mathbf T\cdot d\mathbf r=T_\parallel d\ell$

[chislo_avogadro]

Предложу свой вариант решения.

(Оффтоп)

Контур рассекается на узкие прямые полосы. Пусть длина полосы $i$ будет $L$, ширина - $h$.

Сила $F$, действующая на $L$ (по рисунку) сверху, равна, очевидно, силе, приложенной к отрезанной верхней части контура -- $IBL$.

Произведение проекции этой силы на направление отрезка контура, вырезанного полосой, т.е. на $ab$, на длину этого отрезка равно, очевидно, $hF.$

Проходя так весь контур "поперёк" складывая $hF_i$ и деля сумму на длину контура, можно сразу получить половину ответа svv. Вторую половину - при таком же проходе "вдоль".

[AnatolyBa]

А понял.

AnatolyBa в сообщении #1512904 писал(а):

Если взять прямоугольник и усреднить силу натяжения по длине, то у меня получается другой коэффициент

Я там в вычислениях ошибся, не разделил на два в одном месте. Отсюда и дальнейшие смущения

-- 05.04.2021, 18:24 --

Спасибо svv

[Ignatovich]

Задача оказалась деликатной. Особенность, на мой взгляд, состоит в том, что контур жесткий и потому, только тангенциальные силы натяжения не обеспечивают равновесия. Условие равновесия уважаемый svv записал для полных механических напряжений и потом чудесным образом ему удалось выразить среднюю тангенциальную силу. Спасибо dovlato и svv.

[svv]

Спасибо всем участникам за обсуждение. Задача и вправду хороша.

[dovlato]

При усреднении по углу у меня вот что выходит.
Возьмём произвольный единичный направляющий вектор $\mathbf n$, и проведём две касательные, параллельные $\mathbf n$, так что весь контур окажется между ними. Обозначим $h=h(\mathbf n)$ расстояние между этими касательными.
Пусть точки соприкосновения A и B. Найдём силу $\mathbf f$, с которой магнитное поле действует на любую из двух частей контура, лежащей между A и B:

$$d\mathbf f=Id\mathbf r\times\mathbf B,$$

$$\mathbf f=I\mathbf r\times\msthbf B$$

Здесь $\mathbf r=\mathbf r_B-\mathbf r_A.$ Сумма продольных составляющих, действующие в A и B

$$f_n=I\mathbf n[\mathbf r,\mathbf B]=I\mathbf B[\mathbf n,\mathbf r]=IBh(\mathbf n)$$

Учитывая, что при повороте $\mathbf n$ на угол $d\alpha$ точки соприкосновения A и B в сумме пройдут расстояние $dL=h(\mathbf n)d\alpha$, получим, что при усреднении по углу $\alpha$ от 0 до $\pi$ сила натяжения равна

$$f_a=\frac{ILB}{2\pi}$$

[lel0lel]

svv в сообщении #1509247 писал(а):

$\frac{2IBS}{cL}$, где $S$ — площадь контура, а $L$ — его длина (СГС).

Вроде это очевидно -- средняя тангенциальная сила пропорциональна среднему "диаметру" контура, то есть $\langle T\rangle =\frac{1}{2c} I B\langle d\rangle $, где $\langle {d}\rangle =4S/L$