мера сходящейся последовательности точек

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить задачу.

Последовательность точек

\[ x^k \in R^n ,k \in N \]

, сходится к точке из

\[ R^n \]

. Доказать, что множество

\[ \left\{ {x^k :k \in N} \right\} \]

имеет меру нуль.

[Brukvalub]

Вне сколь угодно малой окрестности предела может находиться лишь конечное число членов последовательности.

[ShMaxG]

Мера конечного числа членов последовательности - нуль. Получаем тогда, что для любой окрестности предела мера множества вне этой окрестности - нуль. Следовательно (в пределе), мера множества из всех этих точек - нуль. Верно?

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #151224 писал(а):

Верно?

Нет, не верно.

[AD]

В каком смысле понимается мера? Если по Лебегу, то сходимость последовательности вообще ни к селу ни к городу.

[ShMaxG]

Мера по Жордану.

[ewert]

Тогда (если по Жордану) -- действует первый пост Brukvalub'а, и сходимость действительно по существу. Последовательность покрывается конечным набором отрезков сколь угодно малой суммарной длины.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #151262 писал(а):

Последовательность покрывается конечным набором отрезков сколь угодно малой суммарной длины.

Параллелепипедов.

[ShMaxG]

Значит, я так понял. Один параллелепипед возьмем включающим предел, остальные - вне него. Параллелепипедов будет конечное количество для любой сколь угодно малой суммарной длины. Отсюда следует, что мера последовательности будет нуль?

[Brukvalub]

ShMaxG в сообщении #151283 писал(а):

Отсюда следует, что мера последовательности будет нуль?

Сначала получится, что внешняя мера Ж.=0, а тогда и сама мера Ж.=0.

ShMaxG в сообщении #151283 писал(а):

для любой сколь угодно малой суммарной длины.

Не длины, а объема.

[ShMaxG]

Воо, спасибо.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

ewert в сообщении #151262 писал(а):

Последовательность покрывается конечным набором отрезков сколь угодно малой суммарной длины.

Параллелепипедов.

Неверно.

Brukvalub писал(а):

ShMaxG в сообщении #151283 писал(а):

для любой сколь угодно малой суммарной длины.

Не длины, а объема.

И ещё раз неверно.

(Причём если первую реплику ещё можно истолковать разумным образом, то вторая -- неверна безусловно, и даже дважды.)

[Brukvalub]

Все верно. В многомерном пространстве говорят о параллелепипедах, а не об отрезках.

[ewert]

Хорошо, поясняю. Утверждение "Не длины, а объема" означает, что длина не является (причём совершенно официально) одномерным объёмом. Что есть неверно.

Это во-первых. А во-вторых, в задаче речь шла именно об одномерных множествах. Что делает реплику неверной вдвойне.

Первую же реплику можно при желании интерпретировать не как критику, а как предложение чего такое обобщить. Тогда она окажется формально верной (хотя и неуместной).

[Brukvalub]

ewert в сообщении #151377 писал(а):

в задаче речь шла именно об одномерных множествах

А вы условие задачи читали?