2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 мера сходящейся последовательности точек
Сообщение16.10.2008, 21:42 
Аватара пользователя
Помогите пожалуйста решить задачу.

Последовательность точек \[
x^k  \in R^n ,k \in N
\], сходится к точке из \[
R^n 
\]. Доказать, что множество \[
\left\{ {x^k :k \in N} \right\}
\] имеет меру нуль.

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 21:52 
Аватара пользователя
Вне сколь угодно малой окрестности предела может находиться лишь конечное число членов последовательности.

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 21:58 
Аватара пользователя
Мера конечного числа членов последовательности - нуль. Получаем тогда, что для любой окрестности предела мера множества вне этой окрестности - нуль. Следовательно (в пределе), мера множества из всех этих точек - нуль. Верно?

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 22:01 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #151224 писал(а):
Верно?
Нет, не верно.

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 22:09 
В каком смысле понимается мера? Если по Лебегу, то сходимость последовательности вообще ни к селу ни к городу.

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 22:11 
Аватара пользователя
Мера по Жордану.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 03:47 
Тогда (если по Жордану) -- действует первый пост Brukvalub'а, и сходимость действительно по существу. Последовательность покрывается конечным набором отрезков сколь угодно малой суммарной длины.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 07:26 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #151262 писал(а):
Последовательность покрывается конечным набором отрезков сколь угодно малой суммарной длины.
Параллелепипедов.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 09:17 
Аватара пользователя
Значит, я так понял. Один параллелепипед возьмем включающим предел, остальные - вне него. Параллелепипедов будет конечное количество для любой сколь угодно малой суммарной длины. Отсюда следует, что мера последовательности будет нуль?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 09:23 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #151283 писал(а):
Отсюда следует, что мера последовательности будет нуль?
Сначала получится, что внешняя мера Ж.=0, а тогда и сама мера Ж.=0.
ShMaxG в сообщении #151283 писал(а):
для любой сколь угодно малой суммарной длины.

Не длины, а объема.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 09:27 
Аватара пользователя
Воо, спасибо. :D

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 17:29 
Brukvalub писал(а):
ewert в сообщении #151262 писал(а):
Последовательность покрывается конечным набором отрезков сколь угодно малой суммарной длины.
Параллелепипедов.

Неверно.

Brukvalub писал(а):
ShMaxG в сообщении #151283 писал(а):
для любой сколь угодно малой суммарной длины.

Не длины, а объема.

И ещё раз неверно.

(Причём если первую реплику ещё можно истолковать разумным образом, то вторая -- неверна безусловно, и даже дважды.)

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 17:32 
Аватара пользователя
Все верно. В многомерном пространстве говорят о параллелепипедах, а не об отрезках.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 18:02 
Хорошо, поясняю. Утверждение "Не длины, а объема" означает, что длина не является (причём совершенно официально) одномерным объёмом. Что есть неверно.

Это во-первых. А во-вторых, в задаче речь шла именно об одномерных множествах. Что делает реплику неверной вдвойне.

Первую же реплику можно при желании интерпретировать не как критику, а как предложение чего такое обобщить. Тогда она окажется формально верной (хотя и неуместной).

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 18:04 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #151377 писал(а):
в задаче речь шла именно об одномерных множествах
А вы условие задачи читали?

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group