Произведение квадратной, верхнетреугольной и обратной матриц

[pkunlim]

Задача из Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра.

Пусть $H$ - группа невырожденных верхних треугольных матриц порядка $n$, $G$ - группа всех обратимых матриц порядка $n$. Верно ли, что $ABA^{-1}$ $\in$ $H$ для любых матриц $B$ $\in$ $H$ и $A$ $\in$ $G$?

Понятно, что $\det(ABA^{-1})=\det(B)$ , но это еще не значит, что матрица $ABA^{-1}$ тоже верхняя треугольная матрица, хотя уже ясно, что она невырожденная, так как её определитель равен определителю матрицы $B$, которая невырожденная по условию.
При попытке рассмотрения элементов матрицы $ABA^{-1}$ , где $i>j$ (элементов под главной диагональю), получаем что элемент $a_{ij} = a_{i1}b_{11}a^{-1}_{1j} + (a_{i1}b_{12} + a_{i2}b_{22})a^{-1}_{2j} + (a_{i1}b_{13} + a_{i2}b_{23} + a_{i3}b_{33})a^{-1}_{3j} + ... + (a_{i1}b_{1n} + a_{i2}b_{2n} + ... + a_{in}b_{nn})a^{-1}_{nj}$

А это не похоже на ноль, так как в общем случае все элементы $a,b,a^{-1}$ в сумме выше ненулевые. Тогда ноль возможен только при возможности разбиения суммы на четное количество подсумм, которые дают одинаковые по модулю, но противоположные по знаку значения. А возможно ли это в общем случае - непонятно.

В итоге не ясно, как доказать, что $ABA^{-1}$ $\in$ $H$ либо $ABA^{-1}$ $\notin$ $H$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

pkunlim в сообщении #1512625 писал(а):

В итоге не ясно, как доказать, что $ABA^{-1} \in H$ либо $ABA^{-1} \notin H$

Вы неправильно ставите вопрос. Представьте ситуацию, что для некоторых $B \in H, \;A\in G$ матрица $ABA^{-1}$ верхнетреугольная, а для некоторых нет. Тогда Вы не докажете ни что $ABA^{-1} \in H$, ни что $ABA^{-1}\notin H$. В таком случае говорят, что утверждение $ABA^{-1} \in H$ неверно, часто опуская слова «в общем случае» или «для любых матриц $B \in H$ и $A \in G$».

Если Вы пришли к выводу, что в общем случае утверждение неверно, в обоснование Вам достаточно привести один-единственный контрпример. В данном случае это значит — предъявить матрицы $B \in H, \;A\in G$, для которых $ABA^{-1} \in H$ не выполняется. Контрпример придумать несложно, ищите среди матриц $2\times 2$.

Замечание по $\TeX$. На одну формулу полагается ровно два знака доллара, один в начале, другой в конце. То есть вместо $ABA^{-1}$ $\in$ $H$ пишите $ABA^{-1} \in H$. При несоблюдении этого правила некоторые формулы выглядят заметно хуже.

[pkunlim]

svv в сообщении #1512699 писал(а):

Если Вы пришли к выводу, что в общем случае утверждение неверно, в обоснование Вам достаточно привести один-единственный контрпример. В данном случае это значит — предъявить матрицы $B \in H, \;A\in G$, для которых $ABA^{-1} \in H$ не выполняется. Контрпример придумать несложно, ищите среди матриц $2\times 2$.

Замечание по $\TeX$. На одну формулу полагается ровно два знака доллара, один в начале, другой в конце. То есть вместо $ABA^{-1}$ $\in$ $H$ пишите $ABA^{-1} \in H$. При несоблюдении этого правила некоторые формулы выглядят заметно хуже.

Спасибо, действительно, достаточно взять $A=\begin{bmatrix} 0& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}$ и $B=\begin{bmatrix} 1& 2\\ 0& 3 \end{bmatrix}$ , получить $ABA^{-1} = \begin{bmatrix} 3& 0\\ 2& 1 \end{bmatrix}$ , что уже не является верхней треугольной матрицей.

[svv]

Вы не поверите, но я придумал абсолютно тот же пример, даже значения элементов $B$ были те же: $1,2,3$.