Планиметрическая задача на окружность 9кл, сложная

[Евгений Машеров]

[StepV]

TOTAL в сообщении #1512503 писал(а):

Для решения исходной задачи достаточно показать,

Очень интересная идея, но по вашему решению возникает несколько вопросов.
1. Вы решали именно задачу, которую в первом посте предложил ТС?
Если, да, то по вашему решению еще возникают вопросы:
2. Неизвестны значения $R$ и $r$ - для окружностей.
3. В ваших обозначениях $BM$ не соответствует $BM$ на исходном чертеже, поэтому непонятно, как они соотносятся.
4. Непонятно, где ваш ответ на задачу, потому что не видно, как его получить из утверждения

TOTAL в сообщении #1512503 писал(а):

для решения исходной задачи достаточно показать, что отношение красных отрезков не зависит от угла $\omega$, т.е. что $AM$ - биссектриса в $ABC$.

Ваш ответ дан в величинах, значения которых в задаче неизвестны.

[svv]

StepV
Чтобы разобраться, что и зачем делает TOTAL, Вам надо понять, какая имеется проблема в Вашем решении. На неё намекали три человека. Ваши рассуждения справедливы при условии, что биссектриса, $KE$ и $BC$ пересекаются в одной точке. Откуда это следует? Почему не может быть так, как на картинке?


-- Пт апр 02, 2021 18:20:13 --

Иначе говоря,

Надеюсь, хорошо видно, что $KME$ и $DML$ — ломаные.

[StepV]

svv в сообщении #1512622 писал(а):

Ваши рассуждения справедливы при условии, что биссектриса, $KE$ и $BC$ пересекаются в одной точке. Откуда это следует? Почему не может быть так, как на картинке?

К сожалению, может. Я внимательно посмотрел свое доказательство и нашел этот изъян. Над ним надо подумать, но выливается он в большое доказательство.

svv в сообщении #1512622 писал(а):

Чтобы разобраться, что и зачем делает TOTAL,

Спасибо за замечание по задаче. Проблему я увидел. Что касается того, что и зачем делает Total? Я уверен, что у него отсутствует необходимость в ваших посреднических действиях. Ваш комментарий снять мои вопросы по его посту не может.

[redicka]

По-моему, решается в уме .... - восемь.

[Mihr]

redicka,
если у Вас и вправду есть простое решение этой задачи, то, пожалуйста, напишите его. Очень интересно было бы посмотреть. Интересно именно решение, а не ответ. Поскольку

nnosipov в сообщении #1512215 писал(а):

он и так очевиден

[StepV]

svv в сообщении #1512622 писал(а):

Ваши рассуждения справедливы при условии, что биссектриса, $KE$ и $BC$ пересекаются в одной точке. Откуда это следует? Почему не может быть так, как на картинке?

Ничто не ново под Луной. Нашел эту задачу в Инете с решением: https://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=56687
Но ваш вопрос о том, что биссектриса, $KE$ и $BC$ пересекаются в одной точке, решается там с помощью вложенности еще трех задач. Причем доказывается, что точка М соответствует инверсии точки А. Если кто-то хочет глубже познакомиться можно сходить по ссылке.
Я на этом рассмотрение этой задачи завершаю,т.к. есть еще другие проблемы.

[redicka]

Mihr в сообщении #1512631 писал(а):

redicka,
если у Вас и вправду есть простое решение этой задачи, то, пожалуйста, напишите его. Очень интересно было бы посмотреть. Интересно именно решение, а не ответ. Поскольку

nnosipov в сообщении #1512215 писал(а):

он и так очевиден

Это задача из темы: степень точки относительно окружности.Это элементарная математика, но все помнить невозможно. См. Г.С.М.Кокстер,С.Л.Грейтцер
НОВЫЕ ВСТРЕЧИ С ГЕОМЕТРИЕЙ.

[Mihr]

redicka в сообщении #1512635 писал(а):

Это задача из темы: степень точки относительно окружности.Это элементарная математика, но все помнить невозможно.

Ладно... Похоже, в своём предыдущем сообщении Вы погорячились.

[redicka]

По смотрел ссылку - там немного не то. Если знаешь соответствую теорему о равенстве произведения отрезков двух хорд окружности пересекающихся внутри окружности то задача решается в два действия. Правда, нужно догадаться выпрямить "изогнутую" хорду.

[xagiwo]

Ещё есть известная теорема о том, что симедиана(прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы), проведённая из одной вершины и две прямые, касающиеся описанной окружности в двух других вершинах, пересекаются в одной точке. Единственное доказательство, которое я знаю – через теорему синусов.

[kot-obormot]

TOTAL в сообщении #1512503 писал(а):

Скажите, пожалуйста, а как определяются центры окружностей, как они могут быть связаны с исходной задачей, вот что не пойму...

-- 03.04.2021, 16:50 --

redicka в сообщении #1512635 писал(а):

Это задача из темы: степень точки относительно окружности.Это элементарная математика, но все помнить невозможно. См. Г.С.М.Кокстер,С.Л.Грейтцер
НОВЫЕ ВСТРЕЧИ С ГЕОМЕТРИЕЙ.

Спасибо, я посмотрел эту тему в этой книжке. Но решение такой задачи там не нашел, к сожалению)

-- 03.04.2021, 17:02 --

xagiwo в сообщении #1512690 писал(а):

Ещё есть известная теорема о том, что симедиана(прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы), проведённая из одной вершины и две прямые, касающиеся описанной окружности в двух других вершинах, пересекаются в одной точке. Единственное доказательство, которое я знаю – через теорему синусов.

Могли бы, пожалуйста, уточнить формулировку теоремы, где ее можно найти и ее доказательство?

Видимо это теорема доказывает, почему точка пересечения $KE$ и $DL$ будет именно $M$?

[TOTAL]

kot-obormot в сообщении #1512713 писал(а):

а как определяются центры окружностей, как они могут быть связаны с исходной задачей, вот что не пойму...

Точку $A$ соедините с точкой пересечения окружностей. Узнаёте касательную из исходной задачи?

[redicka]

Цитата:

Спасибо, я посмотрел эту тему в этой книжке. Но решение такой задачи там не нашел, к сожалению)

См.картинку.
https://cdn1.radikalno.ru/uploads/2021/ ... 9-full.jpg

[kot-obormot]

TOTAL в сообщении #1512719 писал(а):

kot-obormot в сообщении #1512713 писал(а):

а как определяются центры окружностей, как они могут быть связаны с исходной задачей, вот что не пойму...

Точку $A$ соедините с точкой пересечения окружностей. Узнаёте касательную из исходной задачи?

(Оффтоп)

Ниже буду писать, ориентируясь на

Спасибо, понял. Это касательная $AB$
То есть Вы показали, что $\dfrac{AL}{LM}=\dfrac{AO}{LO}$. По прежнему не могу понять - а реально ли это может помочь в задаче? Может я что-то не так понимаю...

-- 03.04.2021, 17:43 --

redicka в сообщении #1512724 писал(а):

Цитата:

Спасибо, я посмотрел эту тему в этой книжке. Но решение такой задачи там не нашел, к сожалению)

См.картинку.
https://cdn1.radikalno.ru/uploads/2021/ ... 9-full.jpg

Спасибо, до это я видел, спасибо! Это просто теорема о перескающихся хордах. Ведь самая главная проблема - доказать, что диагонали трапеции проходят через точку $M$. Вот это как раз - не понятно!