Короновирусная задача

[SAVe]

Здравствуйте.
Пытаюсь понять как решить задачу:
Есть страна с населением $N$ и в ней эпидемия. Эпидемия закончится когда 75% населения переболеют (или вакцинируются).
Какова вероятность "проскочить", т.е. не заразиться до окончания эпидемии ?

Рассуждаю так: есть состояние ($i$) которое изменяется когда кто либо заболел/выздоровел/умер. Вероятность заражения в этот момент $p_i$ можно посчитать так:
$b_i$ - больные: это выявленные + не выявленные болеющие в данный момент (допустим на каждого выявленного два не выявленных) и умноженные на коэффициент передачи. Т.е. сколько успевает заражать до выздоровления одни заболевший. Пусть будет 1.3.
$z_i$ - переболевшие: это переболевшие + вакцинированные. Т.е. контакт с ними не приводит к заражению.
$n_i$ - население - это все население $N$ - умершие.


Тогда:
каждый больной может контактировать c любым другим человеком - поэтому вероятность контакта:

$$\frac {b_i} {n_i}$$

но к заражению приводит только контакт с ещё не болевшим. Т.е. контакты нужно уменьшить на:

$$\frac {n_i - z_i}{n_i}$$

Получаем:

$$p_i = \frac {b_i(\frac {n_i - z_i}{n_i})}{n_i}$$

Если просуммировать по всем шагам ($i$) изменения этого состояния (т.е. каждый раз когда кто то заболел/выздоровел/умер добавляем новое слагаемое в ряд)
- то должны получить вероятность заболеть $p_b$. Суммируем пока переболевшие не составят 75%. Количество шагов не равно $0.75N$ т.к. состояние меняется в 3-х случаях (учитывая что статистика дается по дням - можно конечно принять за шаг по $i$ даты).

$p_b = \sum\limits_{i=1}^{z_i=0.75N}{p_i}$

Вычитая $1 - p_b$ получаем вероятность не заболеть. Но для такого решения надо знать статистику 'наперед'. Т.е. пока действительно не переболеет 75% - нельзя посчитать вероятность.

Тогда скорее всего задача должна сводится к такой:
В корзине 100 шаров - 99 белых и 1 красный. Какова вероятность что красный шар останется в корзине после извлечения 75 шаров.

Пробовал решать так:
На первом шаге вероятность извлечь красный шар $\frac {1} {100}$. На втором $\frac {1} {99}$. На последнем $\frac {1} {25}$. Т.е. сумма ряда $\frac {1} {100} + \frac {1} {99} +... + \frac {1} {25}$
должна дать вероятность достать красный шар ($p_k$) после 75 попыток.

$$p_k = \sum\limits_{i = 0}^{75}{\frac {1} {100 - i}}$$

И тогда $1 - p_k$ даст вероятность, что шар останется в корзине.
Написал скрипт. Просуммировал ряд и получил 1.371419339886... Явно не то что я ожидал.
Помогите пожалуйста разобраться с решением. Применима ли для этого решения формула Байеса ?

[mihaild]

SAVe в сообщении #1512331 писал(а):

На первом шаге вероятность извлечь красный шар $\frac {1} {100}$. На втором $\frac {1} {99}$.

Нет.
$\frac{1}{99}$ - это вероятность того, что мы достанем красный шар на втором шаге при условии, что мы не достали его на первом. А нас интересует априорная вероятность достать шар за 75 попыток, поэтому нужно складывать априорные вероятности для каждой из 75 попыток, которые все равны $\frac{1}{100}$.

[EUgeneUS]

Тут ещё есть вот какой подводный камень.

SAVe в сообщении #1512331 писал(а):

Т.е. сколько успевает заражать до выздоровления одни заболевший. Пусть будет 1.3.

Сколько успевает заразить один заболевший не является константой ещё вот по какой причине: разные больные могут заразить одного и того же нового больного.
Пока больных единовременно мало (относительно всей популяции), эта поправка незначительна.
Как как их становится много в какой-то момент времени, упрощенная модель ломается
Я проверял

-- 31.03.2021, 20:58 --

SAVe
А на Ваш вопрос

SAVe в сообщении #1512331 писал(а):

Есть страна с населением $N$ и в ней эпидемия. Эпидемия закончится когда 75% населения переболеют (или вакцинируются).
Какова вероятность "проскочить", т.е. не заразиться до окончания эпидемии ?

есть простой ответ: очевидно, вероятность не заболеть 25%

[ipgmvq]

SAVe
Если один человек 50-ти лет подходит к другому и спрашивает: какова моя вероятность заболеть мелкоклеточной карциномой лёгкого в ближайшие 10 лет, и отвечающий ничего не знает о вопрошающем, кроме его пола, возраста и страны проживания, ответ будет одним, а если он точно знает, что вопрошающий курит в среднем по пачке в день на протяжении 30 лет и собирается продолжать курить по пачке в день до своей смерти, то ответ будет другим (более точным).
Тот, кто хочет проскочить, собирается сам вакцинироваться?
Если нет, должны ли мы принимать это во внимание и считать его риск среди нежелающих вакцинироваться или среди всех без учёта их индивидуальных планов на вакцинацию? Если должны среди нежелающих, тогда вопрос: а сколько в популяции желает вакцинироваться?

[Евгений Машеров]

Что-то мне Ваше решение напомнило старую байку. Кому-то из известных математиков или физиков (варианты разные) предложили задачу-шутку. Навстречу друг другу идут два поезда, один со скоростью 10 м/с, второй 20 м/с, начальное расстояние 30 км. Между ними летает муха со скоростью 30 м/с. Какой путь она пролетит до столкновения. Математик мгновенно даёт ответ. Разочарованный шутник спрашивает: "А как вы решили?" - "Естественно, ряд просуммировал. В уме".
Если моментом окончания эпидемии считать тот, когда заразится 75%, то наудачу выбранный гражданин заразится с вероятностью 75%. Более сложный путь оправдан, когда Вы ставите другую задачу. Но и данных для неё надо бы побольше. Вероятности заражения вакцинированного и невакцинированного, вероятность "стадной вакцинации", в смысле перенесения болезни в лёгкой форме с появлением иммунитета, динамику вакцинации и вероятности контакта (также меняющиеся во времени в зависимости как от правительственных мер, так и от природных факторов) и, видимо, что-то ещё (скажем, полноценная модель должна рассматривать население не как однородную массу, а делить на страты по возрастам, роду занятий, полу и т.п.).

[SAVe]

Спасибо большое за ответы и объяснение. Мне и нужно было решение в самом простом варианте. Так что все сложности можно было "округлить".