2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Веселые задачи
Сообщение03.04.2006, 17:55 


03/04/06
40
Иркутск
Уважаемые математики помогите пожалуйста :D
1. Доказать тождество:
$(x^{2n} - 1) = ( x^2 - 1)\prod\limits_{k=1}^{n-1} ( x^2 -2*x*cos \frac {k*\pi }  {\n n} + 1)$
2. Найти сумму степенного ряда:
$$\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\ x^ {2*n+1} } {\ (2*n-1)(2*n+1)}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2006, 18:44 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
1. Находим разложение через корни многочлена:
$$x^{2n-1}=\prod_{k=0}^{2n} (x-exp(\frac{2\pi i}{2n}))=(x^2-1)\prod_{k=1}^{n-1} (x-\cos{\frac{k\pi}{n}}-i\sin{\frac{k\pi}{n}})(x-\cos{\frac{k\pi}{n}}+i\sin{\frac{k\pi}{n}})=(x^2-1)\prod_{k=1}^{n-1} (x^2-2\cos{\frac{k\pi}{n}} x+1)$$
2. Обозначим искомую величину через f(x). Тогда получаем, что:
$$f^{'}(x)=-1-xg(x),g^{'}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} =arctg(x),g(x)=xarctg(x)-0.5ln(1+x^2),
f(x)=-x-\int_0^x y^2 [arctg(y)-0.5ln(1+y^2)]dy$$.
Надеюсь простой интеграл и сами вычислите.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2006, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
У меня получилось во втором $-\frac{x + \arctg x + x^2 \arctg x}{2}$ (раскладывая дробь в разность).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2006, 20:31 


31/03/06
1384
2.

$\frac{x}{-1\times1}-\frac{x^3}{1\times3}+\frac{x^5}{3\times5}-...=\frac{1}{2}(\frac{x}{-1}-\frac{x}{1}-\frac{x^3}{1}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{3}-\frac{x^5}{5}-...)=

$\frac{1}{2}(-x+(x^2+1)(-\frac{x}{1}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+...))=\frac{1}{2}(-x-(x^2+1)arctg(x))

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 05:11 


03/04/06
40
Иркутск
Огромное спасибо, за интересные решения :appl: :appl: :appl: :appl: :appl:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 05:51 


03/04/06
40
Иркутск
Я готовлюсь к олимпиаде и решаю все подряд, мне интересно может быть я не владею какими-либо методами все-таки учусь в техническом вузе :roll: , поэтому интересно как бы решали данные задачи, я решал банальным перебором
Две интересных задачи:
1) A,B и C сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3 , для С - 0,5, а В стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет А, затем В, потм С и так далее в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один дуэлянт не останется невредимым. Какой должна быть стратегия А ?
2) Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностью p1 находится в пункте 1, с вероятностью p2=1-p1 находится в пункттте 2 (p1>0,5). Имеется n снарядов, каждый из которых может быть направлен в пункт 1 или в пункт 2. Каждый снаряд поражает цель независимо от других с вероятностью p. Какое число снарядов n1 следует направить в пункт 1 для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 08:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Вы случайно не к армейскому многоборью готовитесь? Что-то уж больно задачи кровожадные :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 10:28 


03/04/06
40
Иркутск
Областная олимпиада по математике для студентов старших курсов :)
А это задания прошлых лет :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 11:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Задача 1 ("трехсторонняя дуэль") дословно взята из книги Ф. Мостеллера "Пятьдесят вероятностных задач с решениями", задача 20, стр. 12. Там же есть и разбор.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 12:47 


21/03/06
1545
Москва
А еще задача №1 называется "задача о труэле" :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 14:02 


03/04/06
40
Иркутск
Спасибо, нашел данную книгу, интересно, А должен выстрелить в воздух первый выстрел, а потом метить в В :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 14:18 


21/11/05
19
Шымкент, Казахстан
Первую задачу я встретил в книге "Международные математические олимпиады" (автора конечно не помню, извините за это) и там разумеется есть такие интересные задачи вроде ваших... :) :) :) :) :) :) :)
И еще там имеется задачки по другим областям математики!!!!!!!!! :D :D :D :D :D :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group