Веселые задачи

[VSSISTU]

Уважаемые математики помогите пожалуйста
1. Доказать тождество:
$(x^{2n} - 1) = ( x^2 - 1)\prod\limits_{k=1}^{n-1} ( x^2 -2*x*cos \frac {k*\pi } {\n n} + 1)$
2. Найти сумму степенного ряда:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\ x^ {2*n+1} } {\ (2*n-1)(2*n+1)}$$

[Руст]

1. Находим разложение через корни многочлена:

$$x^{2n-1}=\prod_{k=0}^{2n} (x-exp(\frac{2\pi i}{2n}))=(x^2-1)\prod_{k=1}^{n-1} (x-\cos{\frac{k\pi}{n}}-i\sin{\frac{k\pi}{n}})(x-\cos{\frac{k\pi}{n}}+i\sin{\frac{k\pi}{n}})=(x^2-1)\prod_{k=1}^{n-1} (x^2-2\cos{\frac{k\pi}{n}} x+1)$$

2. Обозначим искомую величину через f(x). Тогда получаем, что:

$$f^{'}(x)=-1-xg(x),g^{'}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} =arctg(x),g(x)=xarctg(x)-0.5ln(1+x^2), f(x)=-x-\int_0^x y^2 [arctg(y)-0.5ln(1+y^2)]dy$$

.
Надеюсь простой интеграл и сами вычислите.

[незваный гость]

У меня получилось во втором $-\frac{x + \arctg x + x^2 \arctg x}{2}$ (раскладывая дробь в разность).

[Феликс Шмидель]

2.

$\frac{x}{-1\times1}-\frac{x^3}{1\times3}+\frac{x^5}{3\times5}-...=\frac{1}{2}(\frac{x}{-1}-\frac{x}{1}-\frac{x^3}{1}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{3}-\frac{x^5}{5}-...)=

$\frac{1}{2}(-x+(x^2+1)(-\frac{x}{1}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+...))=\frac{1}{2}(-x-(x^2+1)arctg(x))

[VSSISTU]

Огромное спасибо, за интересные решения

[VSSISTU]

Я готовлюсь к олимпиаде и решаю все подряд, мне интересно может быть я не владею какими-либо методами все-таки учусь в техническом вузе , поэтому интересно как бы решали данные задачи, я решал банальным перебором
Две интересных задачи:
1) A,B и C сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3 , для С - 0,5, а В стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет А, затем В, потм С и так далее в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один дуэлянт не останется невредимым. Какой должна быть стратегия А ?
2) Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностью p1 находится в пункте 1, с вероятностью p2=1-p1 находится в пункттте 2 (p1>0,5). Имеется n снарядов, каждый из которых может быть направлен в пункт 1 или в пункт 2. Каждый снаряд поражает цель независимо от других с вероятностью p. Какое число снарядов n1 следует направить в пункт 1 для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?

[незваный гость]

Вы случайно не к армейскому многоборью готовитесь? Что-то уж больно задачи кровожадные

[VSSISTU]

Областная олимпиада по математике для студентов старших курсов
А это задания прошлых лет

[PAV]

Задача 1 ("трехсторонняя дуэль") дословно взята из книги Ф. Мостеллера "Пятьдесят вероятностных задач с решениями", задача 20, стр. 12. Там же есть и разбор.

[e2e4]

А еще задача №1 называется "задача о труэле"

[VSSISTU]

Спасибо, нашел данную книгу, интересно, А должен выстрелить в воздух первый выстрел, а потом метить в В

[rashid]

Первую задачу я встретил в книге "Международные математические олимпиады" (автора конечно не помню, извините за это) и там разумеется есть такие интересные задачи вроде ваших...
И еще там имеется задачки по другим областям математики!!!!!!!!!