Табличный интеграл и подстановка

[Алексей К.]

Неопределённые интегралы не обязаны совпадать, они могут отличаться на константу.
Рассмотрите свои две подстановки для

$$F(x)=\int\limits_b^x \frac {d\xi} {\xi(\xi-b)^{1/2}},$$

и тогда Вы вправе требовать совпадения результатов.

Добавлено спустя 7 минут 16 секунд:

e7e5 в сообщении #151135 писал(а):

Тогда при каких $b$ возможно равенство?

Вопрос отменяем, как неинтересный и возникший от непонимания сути проблемы. Если всё вычислено правильно, то равенство либо тождественно выполняется (та константа равна нулю), либо никогда не выполняется.

Добавлено спустя 1 час 34 минуты 3 секунды:

$$\begin{array}{lclcl} \int(x^2+2x+1)dx&=& &=&\frac1 3 x^3+x^2+x+\hphantom{\frac1 3 +{}}C_1\\[8pt] \int(x^2+2x+1)dx&=&\int(x+1)^2 d(x+1)=\frac1 3(x+1)^3+C_2&=&\frac1 3 x^3+x^2+x+\frac1 3+C_2 \end{array} $$

Прояснилось?

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Рассмотрите свои две подстановки для

$$F(x)=\int\limits_b^x \frac {d\xi} {\xi(\xi-b)^{1/2}},$$

и тогда Вы вправе требовать совпадения результатов.

Да, Рассмотрим теперь такой определенный интеграл, $\xi>b$
и две подстановки
A) $t=\sqrt{ \xi-b}$ дает
$2/ \sqrt{b}* \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} $

B) $\frac{ \xi-2b} \xi=t$ дает
$ -1/ \sqrt{b}* \arcsin(-1)$$+$$ 1/ \sqrt{b}* \arcsin \frac {x-2b} {x} $
Где же здесь сходится, т.е где вправе требовать совпадения результатов?
Явно где-то ошибка, где?

[Brukvalub]

Оба ответа - сомнительные, поскольку оба при больших значениях х являются отрицательными числами, в то время, как под интегралом стоит положительная функция и верхний предел интегрирования больше нижнего.

[e7e5]

Brukvalub писал(а):

Оба ответа - сомнительные, поскольку оба при больших значениях х являются отрицательными числами, в то время, как под интегралом стоит положительная функция и верхний предел интегрирования больше нижнего.

Поменял плюсы и минусы. Теперь при больших значениях $x$ оба стремятся к
$\frac{\pi}{\sqrt{b}}$?

Сошлось что ли?

[Brukvalub]

e7e5 в сообщении #151216 писал(а):

Поменял плюсы и минусы.

Да, для Вас математика - наука примитивная, если что не нравится - поменял плюсы и минусы, и "ноу проблем". Мне бы так...

[e7e5]

Brukvalub писал(а):

e7e5 в сообщении #151216 писал(а):

Поменял плюсы и минусы.

Да, для Вас математика - наука примитивная, если что не нравится - поменял плюсы и минусы, и "ноу проблем". Мне бы так...

Видно еще где-то ошибся. Вообщем, снова на бумаге аккуратно посчитаю с подстановками, находя при подстановке интервалы интегрирования....
Ведь так?

[Brukvalub]

e7e5 в сообщении #151240 писал(а):

Ведь так?

Да, так лучше будет.

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

A) $t=\sqrt{ \xi-b}$ дает $2/ \sqrt{b}* \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} $

B) $\frac{ \xi-2b} \xi=t$ дает $ -1/ \sqrt{b}* \arcsin(-1)$$+$$ 1/ \sqrt{b}* \arcsin \frac {x-2b} {x} $

Где же здесь сходится, т.е где вправе требовать совпадения результатов?

А, по Вашему, они не совпадают? Я уже с утра кучу иксов подставил (правда, только при $b=1$, лениво было корни извлекать), и всегда получалось, что

$$\frac{2}{\sqrt{b}} \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} = \frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot \arcsin \frac {x-2b} {x} \:.$$

А у Вас что, действительно случилось несовпадение при каких-то значениях?
Я по понятным причинам брал только $x\ge b>0$.

Добавлено спустя 2 часа 14 минут 2 секунды:

Вот, до тыщи дошёл, дальше не буду:

$$\begin{array}{r} \dfrac{2}{\sqrt{1}} \arctg \dfrac {\sqrt{1000-1}} {\sqrt{1}} \simeq 3.07833655471465 \:,\\ \dfrac{1}{ \sqrt{1}}\cdot\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{ \sqrt{1}}\cdot \arcsin \dfrac {1000-2\cdot 1} {1000} \simeq 3.07833655471465 \:.\end{array}$$

А у Вас как дела?

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

А, по Вашему, они не совпадают? Я уже с утра кучу иксов подставил (правда, только при $b=1$, лениво было корни извлекать), и всегда получалось, что

$$\frac{2}{\sqrt{b}} \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} = \frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot \arcsin \frac {x-2b} {x} \:.$$

$x\ge b>0$.

Добавлено спустя 2 часа 14 минут 2 секунды:

Вот, до тыщи дошёл, дальше не буду:

$$\begin{array}{r} \dfrac{2}{\sqrt{1}} \arctg \dfrac {\sqrt{1000-1}} {\sqrt{1}} \simeq 3.07833655471465 \:,\\ \dfrac{1}{ \sqrt{1}}\cdot\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{ \sqrt{1}}\cdot \arcsin \dfrac {1000-2\cdot 1} {1000} \simeq 3.07833655471465 \:.\end{array}$$

А у Вас как дела?

Преобразовал

$$\frac{\pi}{2}- 2\arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} = -\arcsin \frac {x-2b} {x} $$

$$2*Cos^2 [ \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}}]-1= - \frac {x-2b} {x} $$

- сошлось! И после тысячи будет совпадать.

Пусть теперь значения

$$\frac{2}{\sqrt{b}} \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} = \frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot \arcsin \frac {x-2b} {x} \:.$$

, $x\ge b>0$
дают угол наклона
$\alpha/b^{1/2}$ касательной к некоторой кривой, $x$ -длина кривой от начальной точки отсчета $x=b$.
1) О чем говорят значения при больших $x=S$ и $b$ много меньших $S$?
2) Что еще можно поисследовать: например искать параметрическое представление такой кривой?

Получается $S=$b(1+tg^2[\alpha/2]) - правильно?

[Алексей К.]

Ничо не понял. Или очень поздно и пойму утром, или... Кто такая альфа?...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Кто такая альфа?...

Иксы - Для каждого свое значение получается.
Пишу - "пусть": есть некоторая кривая ( какая не знаем - абстрактно, какая-то гладкая). Если провести касательную к этой кривой в некоторой точке, то касательная пусть будет под углом $\alpha/ b^{1/2}$ - это всего лишь условие, обозначение. Но значение $\alpha/ b^{1/2}$ будет такое, как если в тригонометрическое выражение какой-нибудь "икс" подставить ( 2,5; 3,5; 4 и.т.д).

Кривая где-то начинается, по ней идем, проходим путь, длина растет - это иксы.
Вот эту кривую и хотим поисследовать.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #151464 писал(а):

какая не знаем - абстрактно, какая-то гладкая

Ага, прям никто не знает... откуда она взята.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #151464 писал(а):

Если провести касательную к этой кривой в некоторой точке, то касательная пусть будет под углом $\alpha/ b^{1/2}$ - это всего лишь условие, обозначение.

e7e5 писал(а):

Но значение будет такое, как если в тригонометрическое выражение какой-нибудь "икс" подставить

Фразы малопонятные, требуют перевода. Вероятно, кто-то имеющий опыт общения с ещё не обученными студентами, поймёт, что хотел сказать автор. Подозреваю (вместо всего процитированного) следующее:
"Пусть функция $\tau(x)=\dfrac{2}{\sqrt{b}} \arctg \dfrac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}}$, $x\ge b>0$, есть угол наклона касательной к некоторой кривой ($x$ --- длина дуги)."
(Непонятки с размерностями на совести автора.)

В описаниях плоских кривых обозначения $x,y$ традиционно используются для декартовых координат, $\tau,\theta,\alpha$ и др. --- для наклона касательной, $s$ --- для длины дуги ($t,u$ и пр. --- другие параметры кривой). Традиция сильная. Соответственно, использование $x$ для длины дуги, $\alpha/ b^{1/2}$ для наклона касательной сильно конфузит. Говорить, что $\alpha'_x/ b^{1/2}$ есть кривизна, в такой ситуации как-то боязно...

Отсчёт длины дуги естественнее начинать с нуля, а не с некого $b>0$ (рекомендуемая замена: $x-b\to s$).

Добавлено спустя 31 минуту 10 секунд:

e7e5 в сообщении #151460 писал(а):

2) Что еще можно поисследовать: например искать параметрическое представление такой кривой?

$x(s)=\int\limits_0^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma,\quad y(s)=\int\limits_0^s\sin\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma$ ($s,\sigma$ --- длина дуги).

[e7e5]

"Пусть функция $\tau(\sigma)=2*\arctg \dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$, $\sigma\ge b>0$, есть угол наклона касательной к некоторой кривой ($\sigma$ --- длина дуги)."
Найти:
$x(s)=\int\limits_0^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma,\quad y(s)=\int\limits_0^s\sin\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma$ ($s,\sigma$ --- длина дуги).
Так лучше?

Далее
tg^2 \tau/2=\dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$,
используем
tg^2 \tau/2= \frac {1-Cos\tau} {1+Cos\tau} = \frac {\sigma -b} {b},
Cos \tau= \frac {2b- \sigma} {2b+ \sigma},

$x(s)=\int\limits_0^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma = 2b* ln[ \frac {2b+s} {2b}] - при вычислении интеграла дробь разложил как сумму двух простейших. Т.е получаем

$x(s)=ln[ \frac {2b+s} {2b}]^{2b} Правильно посчитал?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

$x(s)=\int\limits_0^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma = 2b* ln[ \frac {2b+s} {2b}] - при вычислении интеграла дробь разложил как сумму двух простейших. Т.е получаем
$x(s)=ln[ \frac {2b+s} {2b}]^{2b} Правильно посчитал?

Поскольку Вы не использовали мой совет начать отсчёт длины дуги с нуля, то нулевой нижний предел интеграла неверен. Для Вашей ф-ции он должен быть $b$.
(Буковку $\sigma$ я использовал лишь как временную немую переменную интегрирования в $\int_0^s f(\sigma)d\sigma$, поскольку не уверен в корректности иногда используемой и всем понятной записи $\int_0^s f(s)ds$.)

Добавлено спустя 3 минуты 28 секунд:

e7e5 писал(а):

Далее tg^2 \tau/2=\dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$,

Неверно.