2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение16.10.2008, 16:57 
Неопределённые интегралы не обязаны совпадать, они могут отличаться на константу.
Рассмотрите свои две подстановки для $$F(x)=\int\limits_b^x \frac {d\xi} {\xi(\xi-b)^{1/2}},$$ и тогда Вы вправе требовать совпадения результатов.

Добавлено спустя 7 минут 16 секунд:

e7e5 в сообщении #151135 писал(а):
Тогда при каких $b$ возможно равенство?

Вопрос отменяем, как неинтересный и возникший от непонимания сути проблемы. Если всё вычислено правильно, то равенство либо тождественно выполняется (та константа равна нулю), либо никогда не выполняется.

Добавлено спустя 1 час 34 минуты 3 секунды:

$$\begin{array}{lclcl}
\int(x^2+2x+1)dx&=&  &=&\frac1 3 x^3+x^2+x+\hphantom{\frac1 3 +{}}C_1\\[8pt]
\int(x^2+2x+1)dx&=&\int(x+1)^2 d(x+1)=\frac1 3(x+1)^3+C_2&=&\frac1 3 x^3+x^2+x+\frac1 3+C_2
\end{array}
$$

Прояснилось?

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 21:04 
Алексей К. писал(а):
Рассмотрите свои две подстановки для $$F(x)=\int\limits_b^x \frac {d\xi} {\xi(\xi-b)^{1/2}},$$ и тогда Вы вправе требовать совпадения результатов.

Да, Рассмотрим теперь такой определенный интеграл, $\xi>b$
и две подстановки
A) $t=\sqrt{ \xi-b}$ дает
$2/ \sqrt{b}* \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} $

B) $\frac{ \xi-2b} \xi=t$ дает
$ -1/ \sqrt{b}* \arcsin(-1)$$+$$ 1/ \sqrt{b}* \arcsin \frac {x-2b} {x} $
Где же здесь сходится, т.е где вправе требовать совпадения результатов?
Явно где-то ошибка, где?

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 21:15 
Аватара пользователя
Оба ответа - сомнительные, поскольку оба при больших значениях х являются отрицательными числами, в то время, как под интегралом стоит положительная функция и верхний предел интегрирования больше нижнего.

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 21:36 
Brukvalub писал(а):
Оба ответа - сомнительные, поскольку оба при больших значениях х являются отрицательными числами, в то время, как под интегралом стоит положительная функция и верхний предел интегрирования больше нижнего.

Поменял плюсы и минусы. Теперь при больших значениях $x$ оба стремятся к
$\frac{\pi}{\sqrt{b}}$?

Сошлось что ли? :)

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 21:54 
Аватара пользователя
e7e5 в сообщении #151216 писал(а):
Поменял плюсы и минусы.
Да, для Вас математика - наука примитивная, если что не нравится - поменял плюсы и минусы, и "ноу проблем". Мне бы так...

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 22:40 
Brukvalub писал(а):
e7e5 в сообщении #151216 писал(а):
Поменял плюсы и минусы.
Да, для Вас математика - наука примитивная, если что не нравится - поменял плюсы и минусы, и "ноу проблем". Мне бы так...

Видно еще где-то ошибся. Вообщем, снова на бумаге аккуратно посчитаю с подстановками, находя при подстановке интервалы интегрирования....
Ведь так?

 
 
 
 
Сообщение16.10.2008, 22:42 
Аватара пользователя
e7e5 в сообщении #151240 писал(а):
Ведь так?
Да, так лучше будет.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 12:54 
e7e5 писал(а):
A) $t=\sqrt{ \xi-b}$ дает $2/ \sqrt{b}* \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} $

B) $\frac{ \xi-2b} \xi=t$ дает $ -1/ \sqrt{b}* \arcsin(-1)$$+$$ 1/ \sqrt{b}* \arcsin \frac {x-2b} {x} $

Где же здесь сходится, т.е где вправе требовать совпадения результатов?

А, по Вашему, они не совпадают? Я уже с утра кучу иксов подставил (правда, только при $b=1$, лениво было корни извлекать), и всегда получалось, что
$$\frac{2}{\sqrt{b}} \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} =
   \frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot \arcsin \frac {x-2b} {x} \:.$$
А у Вас что, действительно случилось несовпадение при каких-то значениях?
Я по понятным причинам брал только $x\ge b>0$.

Добавлено спустя 2 часа 14 минут 2 секунды:

Вот, до тыщи дошёл, дальше не буду:
$$\begin{array}{r}
\dfrac{2}{\sqrt{1}} \arctg \dfrac {\sqrt{1000-1}} {\sqrt{1}} \simeq 3.07833655471465 \:,\\
\dfrac{1}{ \sqrt{1}}\cdot\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{ \sqrt{1}}\cdot \arcsin \dfrac {1000-2\cdot 1} {1000} \simeq 3.07833655471465 \:.\end{array}$$

А у Вас как дела? :D

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 22:21 
Алексей К. писал(а):
А, по Вашему, они не совпадают? Я уже с утра кучу иксов подставил (правда, только при $b=1$, лениво было корни извлекать), и всегда получалось, что
$$\frac{2}{\sqrt{b}} \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} =
   \frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot \arcsin \frac {x-2b} {x} \:.$$
$x\ge b>0$.

Добавлено спустя 2 часа 14 минут 2 секунды:

Вот, до тыщи дошёл, дальше не буду:
$$\begin{array}{r}
\dfrac{2}{\sqrt{1}} \arctg \dfrac {\sqrt{1000-1}} {\sqrt{1}} \simeq 3.07833655471465 \:,\\
\dfrac{1}{ \sqrt{1}}\cdot\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{ \sqrt{1}}\cdot \arcsin \dfrac {1000-2\cdot 1} {1000} \simeq 3.07833655471465 \:.\end{array}$$

А у Вас как дела? :D

Преобразовал
$$\frac{\pi}{2}- 2\arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} =
   -\arcsin \frac {x-2b} {x} $$
$$2*Cos^2 [ \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}}]-1=
   - \frac {x-2b} {x} $$ - сошлось! И после тысячи будет совпадать.

Пусть теперь значения
$$\frac{2}{\sqrt{b}} \arctg \frac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}} =
   \frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{1}{ \sqrt{b}}\cdot \arcsin \frac {x-2b} {x} \:.$$, $x\ge b>0$
дают угол наклона
$\alpha/b^{1/2}$ касательной к некоторой кривой, $x$ -длина кривой от начальной точки отсчета $x=b$.
1) О чем говорят значения при больших $x=S$ и $b$ много меньших $S$?
2) Что еще можно поисследовать: например искать параметрическое представление такой кривой?

Получается $S=$b(1+tg^2[\alpha/2]) - правильно?

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 22:43 
Ничо не понял. Или очень поздно и пойму утром, или... Кто такая альфа?...

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 23:04 
Алексей К. писал(а):
Кто такая альфа?...

Иксы - Для каждого свое значение получается.
Пишу - "пусть": есть некоторая кривая ( какая не знаем - абстрактно, какая-то гладкая). Если провести касательную к этой кривой в некоторой точке, то касательная пусть будет под углом $\alpha/ b^{1/2}$ - это всего лишь условие, обозначение. Но значение $\alpha/ b^{1/2}$ будет такое, как если в тригонометрическое выражение какой-нибудь "икс" подставить ( 2,5; 3,5; 4 и.т.д).

Кривая где-то начинается, по ней идем, проходим путь, длина растет - это иксы.
Вот эту кривую и хотим поисследовать.

 
 
 
 
Сообщение17.10.2008, 23:08 
e7e5 в сообщении #151464 писал(а):
какая не знаем - абстрактно, какая-то гладкая
Ага, прям никто не знает... откуда она взята.

 
 
 
 Утро
Сообщение18.10.2008, 10:11 
e7e5 в сообщении #151464 писал(а):
Если провести касательную к этой кривой в некоторой точке, то касательная пусть будет под углом $\alpha/ b^{1/2}$ - это всего лишь условие, обозначение.
e7e5 писал(а):
Но значение будет такое, как если в тригонометрическое выражение какой-нибудь "икс" подставить
Фразы малопонятные, требуют перевода. Вероятно, кто-то имеющий опыт общения с ещё не обученными студентами, поймёт, что хотел сказать автор. Подозреваю (вместо всего процитированного) следующее:
"Пусть функция $\tau(x)=\dfrac{2}{\sqrt{b}} \arctg \dfrac {\sqrt{x-b}} {\sqrt{b}}$, $x\ge b>0$, есть угол наклона касательной к некоторой кривой ($x$ --- длина дуги)."
(Непонятки с размерностями на совести автора.)

В описаниях плоских кривых обозначения $x,y$ традиционно используются для декартовых координат, $\tau,\theta,\alpha$ и др. --- для наклона касательной, $s$ --- для длины дуги ($t,u$ и пр. --- другие параметры кривой). Традиция сильная. Соответственно, использование $x$ для длины дуги, $\alpha/ b^{1/2}$ для наклона касательной сильно конфузит. Говорить, что $\alpha'_x/ b^{1/2}$ есть кривизна, в такой ситуации как-то боязно...

Отсчёт длины дуги естественнее начинать с нуля, а не с некого $b>0$ (рекомендуемая замена: $x-b\to s$).

Добавлено спустя 31 минуту 10 секунд:

e7e5 в сообщении #151460 писал(а):
2) Что еще можно поисследовать: например искать параметрическое представление такой кривой?

$x(s)=\int\limits_0^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma,\quad
y(s)=\int\limits_0^s\sin\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma$ ($s,\sigma$ --- длина дуги).

 
 
 
 Re: Утро
Сообщение19.10.2008, 13:33 
"Пусть функция $\tau(\sigma)=2*\arctg \dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$, $\sigma\ge b>0$, есть угол наклона касательной к некоторой кривой ($\sigma$ --- длина дуги)."
Найти:
$x(s)=\int\limits_0^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma,\quad
y(s)=\int\limits_0^s\sin\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma$ ($s,\sigma$ --- длина дуги).
Так лучше?

Далее
tg^2 \tau/2=\dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$,
используем
tg^2 \tau/2= \frac {1-Cos\tau} {1+Cos\tau} = \frac {\sigma -b} {b},
Cos \tau= \frac {2b- \sigma} {2b+ \sigma},

$x(s)=\int\limits_0^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma =
2b* ln[ \frac {2b+s} {2b}] - при вычислении интеграла дробь разложил как сумму двух простейших. Т.е получаем

$x(s)=ln[ \frac {2b+s} {2b}]^{2b} Правильно посчитал?

 
 
 
 
Сообщение19.10.2008, 16:17 
e7e5 писал(а):
$x(s)=\int\limits_0^s\cos\tau(\sigma)\mathrm{d}\sigma =
2b* ln[ \frac {2b+s} {2b}] - при вычислении интеграла дробь разложил как сумму двух простейших. Т.е получаем
$x(s)=ln[ \frac {2b+s} {2b}]^{2b} Правильно посчитал?

Поскольку Вы не использовали мой совет начать отсчёт длины дуги с нуля, то нулевой нижний предел интеграла неверен. Для Вашей ф-ции он должен быть $b$.
(Буковку $\sigma$ я использовал лишь как временную немую переменную интегрирования в $\int_0^s f(\sigma)d\sigma$, поскольку не уверен в корректности иногда используемой и всем понятной записи $\int_0^s f(s)ds$.)

Добавлено спустя 3 минуты 28 секунд:

e7e5 писал(а):
Далее tg^2 \tau/2=\dfrac {\sqrt{\sigma-b}} {\sqrt{b}}$,

Неверно.

 
 
 [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group