Индуктивность круглого соленоида с учетом краевых эффектов

[reterty]

Этот топик создан мною как продолжение топика topic145287.html. В нем уважаемый realeugene строго показал что емкость плоского конденсатора растет с учетом краевых эффектов. Но давайте теперь рассмотрим ту же проблему для круглого соленоида конечных размеров и постараемся применить тот же метод что и у realeugene. Энергия соленоида $W=LI^2/2$. Вроде как за счет существования магнитного поля снаружи соленоида, его энергия (при фиксированном токе) а следовательно и индуктивность должна расти....Ан нет, В ЛЛ "Электродинамика сплошных сред" показано, что малая поправка к индуктивности строго отрицательна. Почему же так? Думаю, здесь все из-за того, что сильно уменьшается плотность магнитного поля внутри соленоида. Причем происходит это вследствие уменьшения продольной к оси составляющей $B_z$. А уменьшается она по сравнению с "идеальным случаем" как за счет своего радиального так и осевого распределения. Правильно ли я рассуждаю??

[realeugene]

С соленоидом всё иначе. Разрежьте длинный соленоид на две половинки и представьте его как два упёртые друг в друга последовательно включённых половинчатых соленоида. Ток в каждой половинке очевидно увеличивает магнитный поток через соседнюю половинку по сравнению со случаем далеко разнесённых половинок. Значит, индуктивность цельного соленоида больше удвоенной индуктивности половинки.

[reterty]

realeugene в сообщении #1512075 писал(а):

С соленоидом всё иначе. Разрежьте длинный соленоид на две половинки и представьте его как два упёртые друг в друга последовательно включённых половинчатых соленоида. Ток в каждой половинке очевидно увеличивает магнитный поток через соседнюю половинку по сравнению со случаем далеко разнесённых половинок. Значит, индуктивность цельного соленоида больше удвоенной индуктивности половинки.

А в Вашем формализме через энергию поля это уже сложнее обьяснить?? Или мое описание тоже годится?

[realeugene]

reterty в сообщении #1512076 писал(а):

А в Вашем формализме через энергию поля это уже сложнее обьяснить??

Энергия поля, запасённого соленоидом, равна $LI^2/2$, то есть, это тоже "через энергию". Но у соленоида геометрия поля совершенно другая, и как именно вы пытаетесь доказать что-либо для него геометрически - я не монимаю. Ваше описание - нет, не годится, так как плотность энергии магнитного поляу соленоида не везде уменьшается по сравнению с однородным полем в его сечении, и по каким кривым её осреднить чтобы получить строгое уменьшение я не понимаю. Но, в отличие от конденсатора, тут источники поля не зависят от того, есть у соленоида край или нет. Ток не перераспределяется в катушке. Что делает этот случай проще.

[reterty]

realeugene в сообщении #1512082 писал(а):

reterty в сообщении #1512076 писал(а):

А в Вашем формализме через энергию поля это уже сложнее обьяснить??

Энергия поля, запасённого соленоидом, равна $LI^2/2$, то есть, это тоже "через энергию". Но у соленоида геометрия поля совершенно другая, и как именно вы пытаетесь доказать что-либо для него геометрически - я не монимаю. Ваше описание - нет, не годится, так как плотность энергии магнитного поляу соленоида не везде уменьшается по сравнению с однородным полем в его сечении, и по каким кривым её осреднить чтобы получить строгое уменьшение я не понимаю. Но, в отличие от конденсатора, тут источники поля не зависят от того, есть у соленоида край или нет. Ток не перераспределяется в катушке. Что делает этот случай проще.

Сложнее, да, согласен. Ваше объяснение простое и лаконичное. Спасибо.

[reterty]

realeugene в сообщении #1512075 писал(а):

С соленоидом всё иначе. Разрежьте длинный соленоид на две половинки и представьте его как два упёртые друг в друга последовательно включённых половинчатых соленоида. Ток в каждой половинке очевидно увеличивает магнитный поток через соседнюю половинку по сравнению со случаем далеко разнесённых половинок. Значит, индуктивность цельного соленоида больше удвоенной индуктивности половинки.

Еще раз поразмыслил над вашим обьяснением. Согласно модели идеального ("безконцевого") соленоида, при фиксированном диаметре катушки $L\propto l$, где $l$-ее длина (высота). Исходя из вашего примера, индуктивность уменьшается при уменьшении длины не линейно а быстрее (что соответствует отрицательной поправке у ЛЛ). Но как-то не очень явно ощущается что это именно из-за краев.....(к примеру можно трактовать как появившуюся неоднородность поля внутри соленоида)...видимо просто немного "туплю"..каждая из половинок влияет на поток внутри другой...а где здесь края???...уж простите за вопрос...

[DimaM]

reterty в сообщении #1512112 писал(а):

Но как-то не очень явно ощущается что это именно из-за краев.....(к примеру можно трактовать как появившуюся неоднородность поля внутри соленоида)...видимо просто немного "туплю"..каждая из половинок влияет на поток внутри другой...а где здесь края???...уж простите за вопрос...

Вблизи краев линии поля расходятся (поток через крайнее сечение вдвое меньше потока через сечение далеко от краев). Поэтому поток через соленоид уменьшается.

[realeugene]

reterty в сообщении #1512112 писал(а):

а где здесь края???...уж простите за вопрос...

Разрез добавляет два края. У длинного циллиндрического соленоида поле сконцентрировано внутри трубки, а снаружи магнитное поле сильно рассеяно и сконцентрировано только возле его концов. Кстати, какая там зависимость поля от расстояния до края? Наверное, конец похож на монополь, $B\sim 1/R^2$? А энергия поля вне шаров радиуса $R$ с центром на концах пропорциональна $d/R$? Для длинного прямого соленоида диаметра $d$? Это моё интуитивное предположение, если посчитаете асимптотику с фиксированными диаметром и плотностью поверхностного тока, и бесконечной длиной - поделитесь, пожалуйста, а мне считать её сейчас лень.

У торроидального соленоида поля снаружи нет вообще ввиду его полной симметрии. Но если из него вырезать небольшой сектор, поле вблизи разреза станет заметным.

[realeugene]

Кстати, да, забавно. Из масштабных соображений, поле снаружи от конца длинного соленоида на больших расстояниях должно выглядеть как поле монополя. Поле изолированного монополя обладает положительной энергией. Как и поле от симметричного источника в виде циллиндрического диска в краевом сечении соленоида как поправки к полю внутри соленоида. Но так как эта поправка уменьшает поле внутри соленоида, а энергия магнитного поля квадратична по его напряженности, энергия суммарного поля в результате оказывается меньше.

Хотя, нет, поле диска не такое, как нужно.