Распределения без матожидания

[alisa-lebovski]

geomath в сообщении #1511386 писал(а):

Очевидно, что с тех пор наступил "фазовый переход" и численность населения Земли растет уже не гиперболически...

Ну так он и предлагает свою альтернативную модель, где растет по арктангенсу. Гиперболой приближается левая ветвь арктангенса.

[geomath]

alisa-lebovski в сообщении #1511400 писал(а):

Ну так он и предлагает свою альтернативную модель, где растет по арктангенсу. Гиперболой приближается левая ветвь арктангенса.

Левая ветвь обоснована историческими данными, аппроксимирует их, а чем обоснована правая не очень понятно. Ну, вроде как нарастанием скорости научно-технического прогресса... ресурс которой неограничен, да?

[alisa-lebovski]

geomath в сообщении #1511419 писал(а):

Ну, вроде как нарастанием скорости научно-технического прогресса... ресурс которой неограничен, да?

Вы себе представляете график арктангенса? Там не нарастание, а замедление и сходимость к пределу.

[geomath]

Да нет, так обосновывалась гипербола. И я подумал, что эта идея сохраняется и для арктангенса и он растет быстрее логисты. Но сейчас нарисовал графики и получается, что вроде как медленнее, а по идее должен был бы быстрее.

[Евгений Машеров]

arseniiv в сообщении #1511155 писал(а):

Кстати наталкивает на вопрос, есть ли распределение с конечной дисперсией, для которого среднее арифметическое независимых величин с ним даст величину, у которой дисперсия не меньше и не равна, а даже больше?

С этим-то просто. Дисперсия суммы равна сумме дисперсий. А при делении на n дисперсия уменьшается в $n^2$ раз, с учётом, что n слагаемых, дисперсия среднего меньше в n раз. То есть для "неуменьшения" нужны величины с бесконечной дисперсией (и сравнивать дисперсии малоплодотворное занятие).

[ipgmvq]

alisa-lebovski в сообщении #1511127 писал(а):

Закон больших чисел не работает. При усреднении ни к чему не сходится, а болтается.

Самое ёмкое и красивое объяснение

[geomath]

ipgmvq в сообщении #1511480 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1511127 писал(а):

Закон больших чисел не работает. При усреднении ни к чему не сходится, а болтается.

Самое ёмкое и красивое объяснение

arseniiv в сообщении #1511372 писал(а):

Да, конечно, но на глаз по графику плотности не скажешь. Понятно, что в математике очень многое на глаз не скажешь, но хочется иметь для довольно простых результатов простые доводы.

[arseniiv]

Мне тоже пока объяснение путём ЗБЧ нравится больше всех, но показывать это неудобно, свёртка не так-то наглядна. Если обращаться к преобразованию Фурье, то образ $\frac 1 {x^2 + 1}$ не самый известный, ${} \sim \exp(-\lvert \xi \rvert)$. Хотя теперь наверно запомнится.

[geomath]

Пусть начальное значение $x_0$ логистической кривой и ее асимптотическое значение $x_\infty > x_0 > 0$ фиксированы, а ее конечное значение $x_T$ в некоторый фиксированный момент времени $T > 0$ равномерно распределено в интервале $(x_0, x_\infty)$. Каким тогда будет распределение ее начальной скорости, т.е. правой части логистического уравнения в нуле? Не распределением Коши? (В смысле половины этого распределения, потому что скорость будет только положительной.)

[epros]

arseniiv в сообщении #1511121 писал(а):

Есть ли какие-то наглядные аргументы, почему у распределения например Коши нет матожидания?

Похоже, распределение изменения (например, суточного) биржевых цен - явление примерно такого же плана. То бишь, всегда можно строить гипотезы, что они не выйдут за какие-то разумные пределы, но всегда остаётся отнюдь не пренебрежимый шанс "катастрофы". Вообще, для всех фликкер-шумов характерна степенная зависимость частоты от "масштаба" катастрофы. По этому поводу много чего сказано в книжке Пера Бака о самоорганизованной критичности. Собственно, он демонстрирует, что такое поведение характерно для любых сложных систем в состоянии самоорганизованной критичности. Кстати, компьютерную модель колебаний рыночных цен он тоже там рассматривает.

[Евгений Машеров]

Ну, собственно, отсюда прорезашаяся любовь финматематиков к устойчивым распределениям с бесконечной дисперсией...
Показатель "доходность" это изменение цены актива, отнесённое к цене актива. В финансовых расчётах её распределение часто принимают нормальным (расчёт цены опциона по формуле Блека-Шолса и пр.). Однако дневная доходность индекса Standard&Poor (а он рассчитывается по большому количеству акций, то есть оснований ждать "нормальности" больше, чем у отдельной акции) в течение 62 лет (примерно 15 тысяч торговых дней) падал на 5% -10% при стандартном отклонении 0.98% (т.е. на "5 сигм") 27 раз, почти 1:2000, хотя нормальная модель полагает, что это событие случается 1:3500000, а уж падение 19.10.1987 на 22.9% (больше "23 сигм") и вовсе за гранью вероятного.

[Евгений Машеров]

В порядке неформального объяснения (и даже не объяснения, а пояснения).
Найти среднее арифметическое можно безотносительно к виду распределения случайной величины, выборку из которой мы рассматриваем. Вопрос лишь в том - будет ли оно с ростом объёма выборки куда-то сходиться. Мы надеемся, что, хотя при росте объёма выбоки n в ней будут встречаться всё более экстремальные значения, очень большие или очень малые, но влияние их на числитель дроби благодаря росту знаменателя n окажется всё меньшим и меньшим (ожидание матожидания...). Но что получается с распределением Коши?
Способ генерировать величины с заданным распределением $F(x)$, имея генератор равномерного распределения $u=U(0,1)$ довольно прост концептуально: $F^{-1}(u)$(вот в реализации иногда сложности, нужная функция может не выражаться аналитически и вообще неудобна для вычисления). Но для Коши функция, обратная к функции распределения, проста, это тангенс $\tg(\pi(u-\frac 1 2))$ (кстати, это означает, что существует физический прибор, выдающий величину с распределением Коши - зеркальный гальванометр, координата зайчика от которого при повороте зеркальца равномерно в пределах $\pm\pi$ будет иметь это распределение). И вот эти экстремальные значения аргумента, максимальное и минимальное, будут близки к $\tg(\pm\pi/2)$, и тем ближе, чем больше n. Заменив тангенс для этих значений на котангенс дополнительного угла и вспомнив что в выражении для котангенса
$\ctg x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}=\frac 1 x-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots$ первое слагаемое растёт пропорционально n - с ужасом обнаруживаем, что с ростом объёма выборки n знаменатель в выражении для среднего арифметического-то растёт, зато в числителе всё большие слагаемые появляются, растущие пропорционально n, а поскольку они случайны, то и среднее арифметические ни к чему не сходится, а скачет

(Оффтоп)

кто сказал "Майдан"?! "Кто не скачет, тот нормаль Гаусс"

И в результате матожидания у распределения Коши не ожидается.

[geomath]

Евгений Машеров в сообщении #1511951 писал(а):

кстати, это означает, что существует физический прибор, выдающий величину с распределением Коши - зеркальный гальванометр, координата зайчика от которого при повороте зеркальца равномерно в пределах $\pm\pi$ будет иметь это распределение

А не может так случиться, что равномерное распределение в этом приборе нереалистично? Колебания угла маленькие, и координата зайчика практически линейна по углу. Я столкнулся с похожей ситуацией, хотя и не Коши, где равномерное распределение в пределах развернутого угла нереализуемо на практике.

У меня такое впечатление, если если среднего у явления нет, то и самого явления нет.

[Евгений Машеров]

Для нормального распределения подобная процедура, сгенерировать выборку из n значений и посмотреть, насколько велики будут экстремальные, тоже возможна, правда, простого выражения для обратной к функции нормального распределения нет, есть более-менее хорошие аппроксимации. Взяв, скажем, (26.2.22) или (26.2.23) из Абрамовица и Стигана, видим, что квантиль нормального распределения порядка p, $0<p\le 0.5$ выражается через $t=\sqrt{\ln \frac 1 {p^2}}$, как t минус поправка в виде отношения двух полиномов от t, степень знаменателя выше, то есть для $p=\frac 1 n$ поправка с ростом n будет уменьшаться, так что основной вклад от самого t. А оно с ростом n будет расти, как $\sqrt{2\ln n}$, то есть экстремальные значения растут куда медленнее, чем растёт n, а знаменатель выражения для среднего арифметического равен n, и матожидание существует.
(это, разумеется, не доказательство, а пояснение, чем нормальное "нормальнее", чем Коши, отчего у него есть М.О., а у Коши нету).

[epros]

Евгений Машеров в сообщении #1511951 писал(а):

среднее арифметические ни к чему не сходится, а скачет
И в результате матожидания у распределения Коши не ожидается.

Это наводит на подозрение, что понятие средней рыночной цены также бессмысленно, ибо эта величина ни к чему не сходится. А те финматематики, которые полагаются на нормальность распределения "доходности", совершают фатальную ошибку.