2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 12:49 


28/03/21
18
Добрый день.
Я учусь на подготовительных к универу. И вот вчера споткнулась о вот такую систему уравнений:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &(x^2+y^2)\displaystyle \frac {x}{y}=6& \\
 &(x^2-y^2)\displaystyle \frac {y}{x}=1& \\
\end{array}
\right.$$
Понятно, что $x\ne 0$ и $y\ne 0$.
Затем я перемножила левые и правые части уравнений системы, получила такое уравнение:

$x^4-y^4=6~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

С другой стороны, я умножила каждое из исходных уравнений на $xy$ и сложила их. Получила другое уравнение:

$x^4-y^4+2x^2y^2=7xy~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

Из уравнений $(1)$ и $(2)$ получила
$2x^2y^2-7xy+6=0$.
Решая это квадратное уравнение относительно $xy$, получила два корня: $(xy)_1=2,~~~~(xy)_2=\displaystyle \frac {3}{2}~~~~~~~~~~~~~~~(3)$
Понятно, что любое решение исходной системы удовлетворяет уравнению $(1)$ и одному из уравнений $(3)$.
Ну и я начала решать каждое из двух уравнений $(3)$ совместно с уравнением $(1)$. Но вот тут-то я столкнулась с затыкой - я пришла к уравнению $8$-й степени и окончательно запуталась в дебрях выкладок. Выбраться не смогла.
Помогите, пожалуйста с идеями.

(Оффтоп)

Я на вашем форуме впервые, и сначала выложила эту задачу как есть.
Но потом посмотрела, как тут подобные задачи отправляют в карантин для исправления.
Пришлось потратить полчаса на ознакомления с Правилами форума и ещё два часа - на освоение LATEX-а. Так что надеюсь, что всё выложила как надо. Во всяком случае, не судите строго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1324
Москва
Может быть, перейти в полярную систему координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 12:56 


28/03/21
18
alisa-lebovski в сообщении #1511802 писал(а):
Может быть, перейти в полярную систему координат?
Немного не поняла. Причём здесь система координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 12:59 


30/09/18
110
Gepidium
А систему
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x^4-y^4 = 6 \\
 x^4 y^4 = 2^4 \\
\end{array}
\right.$$

решать умеете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1324
Москва
Gepidium в сообщении #1511803 писал(а):
Немного не поняла. Причём здесь система координат?
Я имела в виду замену $x=r\cos\varphi,y=r\sin\varphi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:08 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23599
Кронштадт
Пожалуй, можно и проще: сделать напрашивающуюся замену $y=z \cdot x$. Результат довольно легко сведется к биквадратному уравнению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:12 


28/03/21
18
marie-la в сообщении #1511805 писал(а):
Gepidium
А систему
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x^4-y^4 = 6 \\
 x^4 y^4 = 2^4 \\
\end{array}
\right.$$

решать умеете?
marie-la
Так я ж об этом написала в стартовом посте:
Gepidium в сообщении #1511801 писал(а):
Ну и я начала решать каждое из двух уравнений $(3)$ совместно с уравнением $(1)$.
И ничего не вышло.

-- 28.03.2021, 13:24 --

Pphantom в сообщении #1511808 писал(а):
Пожалуй, можно и проще: сделать напрашивающуюся замену $y=z \cdot x$.
Pphantom
Я попробую.
Только один вопрос: а откуда Вы увидели, что именно эта замена напрашивается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:31 
Заслуженный участник


20/12/10
8124
Pphantom в сообщении #1511808 писал(а):
Пожалуй, можно и проще: сделать напрашивающуюся замену $y=z \cdot x$.
Я хотел посоветовать ровно это же. Дело в том, что выражения в левых частях уравнений однородные, причем одной степени однородности. В таком случае самое естественное --- это поделить уравнения и получить однородное уравнение, из которого потом можно (и довольно легко в данном случае) найти отношение $y/x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:43 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23599
Кронштадт
Gepidium в сообщении #1511810 писал(а):
Только один вопрос: а откуда Вы увидели, что именно эта замена напрашивается?
На самом деле это адаптированная идея alisa-lebovski. Рассуждения, естественно, какой-либо строгостью не отличаются. :-)

В систему входят куски уравнений окружности и гиперболы, что наводит на мысль о переходе в полярные координаты - при этом есть шансы, что "радиальная" часть сократится и останется только "угловая". Однако вместо явного введения полярного угла можно просто записать отношение $x$ и $y$ (любое) - в нем "радиальная" часть тоже сократится. В итоге левая часть каждого уравнения (и это, в принципе, можно заметить и сразу) превратится в некоторую функцию отношения, умноженную на какую-то степень той из двух исходных переменных, которая уцелеет от замены, а это означает, что от этой исходной переменной можно будет легко избавиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8124
Pphantom в сообщении #1511820 писал(а):
В систему входят куски уравнений окружности и гиперболы
Это все же случайное обстоятельство. Свойство однородности здесь более фундаментально.

Кстати, степени однородности левых частей могли бы быть и разными. Тогда их нужно было бы уравнять (возведением в степень) и после этого поделить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 14:02 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23599
Кронштадт
nnosipov в сообщении #1511822 писал(а):
Это все же случайное обстоятельство. Свойство однородности здесь более фундаментально.
Да, согласен, просто это был ответ на вопрос, что я по этому поводу думал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 14:13 


21/05/16
4100
Аделаида
Gepidium в сообщении #1511810 писал(а):
И ничего не вышло.

А просто систему $x-y=6$ и $xy=16$ решить можете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 14:49 


28/03/21
18
Pphantom и nnosipov, спасибо за идеи.
Честно говоря, не всё поняла, но буду врубаться.
kotenok gav в сообщении #1511830 писал(а):
А просто систему $x-y=6$ и $xy=16$ решить можете?
Могу, но какое она имеет отношение к исходной системе? Ведь они неравносильны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 15:02 


21/05/16
4100
Аделаида
Gepidium в сообщении #1511837 писал(а):
Могу, но какое она имеет отношение к исходной системе? Ведь они неравносильны.

Она имеет отношение к системе $x^4-y^4=6$ и $x^4y^4=2^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение29.03.2021, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17668
Москва
Gepidium в сообщении #1511810 писал(а):
marie-la в сообщении #1511805 писал(а):
Gepidium
А систему
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x^4-y^4 = 6 \\
 x^4 y^4 = 2^4 \\
\end{array}
\right.$$

решать умеете?
marie-la
Так я ж об этом написала в стартовом посте:
Gepidium в сообщении #1511801 писал(а):
Ну и я начала решать каждое из двух уравнений $(3)$ совместно с уравнением $(1)$.
И ничего не вышло.
Просто удивительно, что не вышло. Тем более, что уравнение восьмой степени Вы получили.

А если переписать систему так: $$\begin{cases}x^4+(-y^4)=6,\\ x^4(-y^4)=-2^4?\end{cases}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group