Алгебраическая система уравнений

[Gepidium]

Добрый день.
Я учусь на подготовительных к универу. И вот вчера споткнулась о вот такую систему уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &(x^2+y^2)\displaystyle \frac {x}{y}=6& \\ &(x^2-y^2)\displaystyle \frac {y}{x}=1& \\ \end{array} \right.$$

Понятно, что $x\ne 0$ и $y\ne 0$.
Затем я перемножила левые и правые части уравнений системы, получила такое уравнение:

$x^4-y^4=6~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

С другой стороны, я умножила каждое из исходных уравнений на $xy$ и сложила их. Получила другое уравнение:

$x^4-y^4+2x^2y^2=7xy~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

Из уравнений $(1)$ и $(2)$ получила
$2x^2y^2-7xy+6=0$.
Решая это квадратное уравнение относительно $xy$, получила два корня: $(xy)_1=2,~~~~(xy)_2=\displaystyle \frac {3}{2}~~~~~~~~~~~~~~~(3)$
Понятно, что любое решение исходной системы удовлетворяет уравнению $(1)$ и одному из уравнений $(3)$.
Ну и я начала решать каждое из двух уравнений $(3)$ совместно с уравнением $(1)$. Но вот тут-то я столкнулась с затыкой - я пришла к уравнению $8$-й степени и окончательно запуталась в дебрях выкладок. Выбраться не смогла.
Помогите, пожалуйста с идеями.

(Оффтоп)

Я на вашем форуме впервые, и сначала выложила эту задачу как есть.
Но потом посмотрела, как тут подобные задачи отправляют в карантин для исправления.
Пришлось потратить полчаса на ознакомления с Правилами форума и ещё два часа - на освоение LATEX-а. Так что надеюсь, что всё выложила как надо. Во всяком случае, не судите строго.

[alisa-lebovski]

Может быть, перейти в полярную систему координат?

[Gepidium]

alisa-lebovski в сообщении #1511802 писал(а):

Может быть, перейти в полярную систему координат?

Немного не поняла. Причём здесь система координат?

[marie-la]

Gepidium
А систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^4-y^4 = 6 \\ x^4 y^4 = 2^4 \\ \end{array} \right.$$

решать умеете?

[alisa-lebovski]

Gepidium в сообщении #1511803 писал(а):

Немного не поняла. Причём здесь система координат?

Я имела в виду замену $x=r\cos\varphi,y=r\sin\varphi$.

[Pphantom]

Пожалуй, можно и проще: сделать напрашивающуюся замену $y=z \cdot x$. Результат довольно легко сведется к биквадратному уравнению.

[Gepidium]

marie-la в сообщении #1511805 писал(а):

Gepidium
А систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^4-y^4 = 6 \\ x^4 y^4 = 2^4 \\ \end{array} \right.$$

решать умеете?

marie-la
Так я ж об этом написала в стартовом посте:

Gepidium в сообщении #1511801 писал(а):

Ну и я начала решать каждое из двух уравнений $(3)$ совместно с уравнением $(1)$.

И ничего не вышло.

-- 28.03.2021, 13:24 --

Pphantom в сообщении #1511808 писал(а):

Пожалуй, можно и проще: сделать напрашивающуюся замену $y=z \cdot x$.

Pphantom
Я попробую.
Только один вопрос: а откуда Вы увидели, что именно эта замена напрашивается?

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1511808 писал(а):

Пожалуй, можно и проще: сделать напрашивающуюся замену $y=z \cdot x$.

Я хотел посоветовать ровно это же. Дело в том, что выражения в левых частях уравнений однородные, причем одной степени однородности. В таком случае самое естественное --- это поделить уравнения и получить однородное уравнение, из которого потом можно (и довольно легко в данном случае) найти отношение $y/x$.

[Pphantom]

Gepidium в сообщении #1511810 писал(а):

Только один вопрос: а откуда Вы увидели, что именно эта замена напрашивается?

На самом деле это адаптированная идея alisa-lebovski. Рассуждения, естественно, какой-либо строгостью не отличаются.

В систему входят куски уравнений окружности и гиперболы, что наводит на мысль о переходе в полярные координаты - при этом есть шансы, что "радиальная" часть сократится и останется только "угловая". Однако вместо явного введения полярного угла можно просто записать отношение $x$ и $y$ (любое) - в нем "радиальная" часть тоже сократится. В итоге левая часть каждого уравнения (и это, в принципе, можно заметить и сразу) превратится в некоторую функцию отношения, умноженную на какую-то степень той из двух исходных переменных, которая уцелеет от замены, а это означает, что от этой исходной переменной можно будет легко избавиться.

[nnosipov]

Pphantom в сообщении #1511820 писал(а):

В систему входят куски уравнений окружности и гиперболы

Это все же случайное обстоятельство. Свойство однородности здесь более фундаментально.

Кстати, степени однородности левых частей могли бы быть и разными. Тогда их нужно было бы уравнять (возведением в степень) и после этого поделить.

[Pphantom]

nnosipov в сообщении #1511822 писал(а):

Это все же случайное обстоятельство. Свойство однородности здесь более фундаментально.

Да, согласен, просто это был ответ на вопрос, что я по этому поводу думал.

[kotenok gav]

Gepidium в сообщении #1511810 писал(а):

И ничего не вышло.

А просто систему $x-y=6$ и $xy=16$ решить можете?

[Gepidium]

Pphantom и nnosipov, спасибо за идеи.
Честно говоря, не всё поняла, но буду врубаться.

kotenok gav в сообщении #1511830 писал(а):

А просто систему $x-y=6$ и $xy=16$ решить можете?

Могу, но какое она имеет отношение к исходной системе? Ведь они неравносильны.

[kotenok gav]

Gepidium в сообщении #1511837 писал(а):

Могу, но какое она имеет отношение к исходной системе? Ведь они неравносильны.

Она имеет отношение к системе $x^4-y^4=6$ и $x^4y^4=2^4$.

[Someone]

Gepidium в сообщении #1511810 писал(а):

marie-la в сообщении #1511805 писал(а):

Gepidium
А систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^4-y^4 = 6 \\ x^4 y^4 = 2^4 \\ \end{array} \right.$$

решать умеете?

marie-la
Так я ж об этом написала в стартовом посте:

Gepidium в сообщении #1511801 писал(а):

Ну и я начала решать каждое из двух уравнений $(3)$ совместно с уравнением $(1)$.

И ничего не вышло.

Просто удивительно, что не вышло. Тем более, что уравнение восьмой степени Вы получили.

А если переписать систему так:

$$\begin{cases}x^4+(-y^4)=6,\\ x^4(-y^4)=-2^4?\end{cases}$$