2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 12:49 


28/03/21
25
Добрый день.
Я учусь на подготовительных к универу. И вот вчера споткнулась о вот такую систему уравнений:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &(x^2+y^2)\displaystyle \frac {x}{y}=6& \\
 &(x^2-y^2)\displaystyle \frac {y}{x}=1& \\
\end{array}
\right.$$
Понятно, что $x\ne 0$ и $y\ne 0$.
Затем я перемножила левые и правые части уравнений системы, получила такое уравнение:

$x^4-y^4=6~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

С другой стороны, я умножила каждое из исходных уравнений на $xy$ и сложила их. Получила другое уравнение:

$x^4-y^4+2x^2y^2=7xy~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

Из уравнений $(1)$ и $(2)$ получила
$2x^2y^2-7xy+6=0$.
Решая это квадратное уравнение относительно $xy$, получила два корня: $(xy)_1=2,~~~~(xy)_2=\displaystyle \frac {3}{2}~~~~~~~~~~~~~~~(3)$
Понятно, что любое решение исходной системы удовлетворяет уравнению $(1)$ и одному из уравнений $(3)$.
Ну и я начала решать каждое из двух уравнений $(3)$ совместно с уравнением $(1)$. Но вот тут-то я столкнулась с затыкой - я пришла к уравнению $8$-й степени и окончательно запуталась в дебрях выкладок. Выбраться не смогла.
Помогите, пожалуйста с идеями.

(Оффтоп)

Я на вашем форуме впервые, и сначала выложила эту задачу как есть.
Но потом посмотрела, как тут подобные задачи отправляют в карантин для исправления.
Пришлось потратить полчаса на ознакомления с Правилами форума и ещё два часа - на освоение LATEX-а. Так что надеюсь, что всё выложила как надо. Во всяком случае, не судите строго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1389
Москва
Может быть, перейти в полярную систему координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 12:56 


28/03/21
25
alisa-lebovski в сообщении #1511802 писал(а):
Может быть, перейти в полярную систему координат?
Немного не поняла. Причём здесь система координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 12:59 


30/09/18
113
Gepidium
А систему
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x^4-y^4 = 6 \\
 x^4 y^4 = 2^4 \\
\end{array}
\right.$$

решать умеете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1389
Москва
Gepidium в сообщении #1511803 писал(а):
Немного не поняла. Причём здесь система координат?
Я имела в виду замену $x=r\cos\varphi,y=r\sin\varphi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:08 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23752
Кронштадт
Пожалуй, можно и проще: сделать напрашивающуюся замену $y=z \cdot x$. Результат довольно легко сведется к биквадратному уравнению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:12 


28/03/21
25
marie-la в сообщении #1511805 писал(а):
Gepidium
А систему
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x^4-y^4 = 6 \\
 x^4 y^4 = 2^4 \\
\end{array}
\right.$$

решать умеете?
marie-la
Так я ж об этом написала в стартовом посте:
Gepidium в сообщении #1511801 писал(а):
Ну и я начала решать каждое из двух уравнений $(3)$ совместно с уравнением $(1)$.
И ничего не вышло.

-- 28.03.2021, 13:24 --

Pphantom в сообщении #1511808 писал(а):
Пожалуй, можно и проще: сделать напрашивающуюся замену $y=z \cdot x$.
Pphantom
Я попробую.
Только один вопрос: а откуда Вы увидели, что именно эта замена напрашивается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:31 
Заслуженный участник


20/12/10
8159
Pphantom в сообщении #1511808 писал(а):
Пожалуй, можно и проще: сделать напрашивающуюся замену $y=z \cdot x$.
Я хотел посоветовать ровно это же. Дело в том, что выражения в левых частях уравнений однородные, причем одной степени однородности. В таком случае самое естественное --- это поделить уравнения и получить однородное уравнение, из которого потом можно (и довольно легко в данном случае) найти отношение $y/x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:43 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23752
Кронштадт
Gepidium в сообщении #1511810 писал(а):
Только один вопрос: а откуда Вы увидели, что именно эта замена напрашивается?
На самом деле это адаптированная идея alisa-lebovski. Рассуждения, естественно, какой-либо строгостью не отличаются. :-)

В систему входят куски уравнений окружности и гиперболы, что наводит на мысль о переходе в полярные координаты - при этом есть шансы, что "радиальная" часть сократится и останется только "угловая". Однако вместо явного введения полярного угла можно просто записать отношение $x$ и $y$ (любое) - в нем "радиальная" часть тоже сократится. В итоге левая часть каждого уравнения (и это, в принципе, можно заметить и сразу) превратится в некоторую функцию отношения, умноженную на какую-то степень той из двух исходных переменных, которая уцелеет от замены, а это означает, что от этой исходной переменной можно будет легко избавиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 13:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8159
Pphantom в сообщении #1511820 писал(а):
В систему входят куски уравнений окружности и гиперболы
Это все же случайное обстоятельство. Свойство однородности здесь более фундаментально.

Кстати, степени однородности левых частей могли бы быть и разными. Тогда их нужно было бы уравнять (возведением в степень) и после этого поделить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 14:02 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23752
Кронштадт
nnosipov в сообщении #1511822 писал(а):
Это все же случайное обстоятельство. Свойство однородности здесь более фундаментально.
Да, согласен, просто это был ответ на вопрос, что я по этому поводу думал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 14:13 


21/05/16
4119
Аделаида
Gepidium в сообщении #1511810 писал(а):
И ничего не вышло.

А просто систему $x-y=6$ и $xy=16$ решить можете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 14:49 


28/03/21
25
Pphantom и nnosipov, спасибо за идеи.
Честно говоря, не всё поняла, но буду врубаться.
kotenok gav в сообщении #1511830 писал(а):
А просто систему $x-y=6$ и $xy=16$ решить можете?
Могу, но какое она имеет отношение к исходной системе? Ведь они неравносильны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение28.03.2021, 15:02 


21/05/16
4119
Аделаида
Gepidium в сообщении #1511837 писал(а):
Могу, но какое она имеет отношение к исходной системе? Ведь они неравносильны.

Она имеет отношение к системе $x^4-y^4=6$ и $x^4y^4=2^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраическая система уравнений
Сообщение29.03.2021, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17690
Москва
Gepidium в сообщении #1511810 писал(а):
marie-la в сообщении #1511805 писал(а):
Gepidium
А систему
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x^4-y^4 = 6 \\
 x^4 y^4 = 2^4 \\
\end{array}
\right.$$

решать умеете?
marie-la
Так я ж об этом написала в стартовом посте:
Gepidium в сообщении #1511801 писал(а):
Ну и я начала решать каждое из двух уравнений $(3)$ совместно с уравнением $(1)$.
И ничего не вышло.
Просто удивительно, что не вышло. Тем более, что уравнение восьмой степени Вы получили.

А если переписать систему так: $$\begin{cases}x^4+(-y^4)=6,\\ x^4(-y^4)=-2^4?\end{cases}$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: KXCompare


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group