Доказательство неравенств

[Ana345]

Доброго времени суток!
Ребята, нужна помощь в рассуждениях.
Задача: Доказать неравенство: $n^4-4\cdot n^2-2\cdot n \geqslant0$ при $n \geqslant6$;
Вот мое доказательство: Наше неравенство $n^4-4\cdot n^2-2\cdotn\geqslant0$ верно потому что:(рассмотрим его почленно)
$n^4$ возрастает быстрее чем $4\cdot n^2$
( можем проверить на простом примере: при $n= 3$ получим: $3^4=81$, $4\cdot3^2=36$ - - > $n^4$ возрастает быстрее чем $4\cdot n^2$ )
$4\cdot n^2$ возрастает быстрее чем $2\cdot n$( $n =3$ получим: $4\cdot3^2=36, 2\cdot3=6$ - - > $4\cdot n^2$ возрастает быстрее чем $2\cdot n$)
Учитывая возрастание каждого члена нашего неравенства и учитывая их разность (было проверено выше, возрастание каждого члена) мы можем утверждать, что при увеличении значений числа $n$ результат неравенства будет увеличиваться. Соответственно, мы можем быть уверены в верном выполнении неравенства. При $n\geqslant6$
На этом мое доказательство заканчивается. Но вся проблема в том, что этого не достаточно. Пожалуйста, не могли бы вы подсказать\указать мне на мою ошибку? Чего не хватает в моем доказательстве?

[mihaild]

Что значит "возрастает быстрее"? Откуда взялось $6$?
Рассмотрим, например, неравенство $x^2 - 8x + 15 \geqslant 0$. Опять же $x^2$ возрастает быстрее чем $3x$, и при скажем $x = 2$ левая часть равна $3$ - больше нуля. Рассуждениями, аналогичными вашим, получаем, что неравенство выполнено при $x \geqslant 2$. Но подставим $x = 4$ и получим слева $-1$.

[Евгений Машеров]

Математической индукцией пользоваться дозволено?

[vpb]

Надо сказать, что оно и без всяких "динамических" рассуждений (индукция, "возрастание") очень просто доказывается. Аж неудобно писать.

[Евгений Машеров]

Просто, конечно. Что-то прибавить (и сразу же отнять, чтобы не нарушать отчётностьнеравенство). Что-то прибавить, и, для разнообразия, тоже то же прибавить с другой стороны. И ещё так же прибавить. Затем преобразовать, как нас учили в 6 классе. После чего найти значение в одной точке и вспомнить слово "монотонность".
Но топикстартер желает "продинамить" неравенство, и матиндукция позволяет сделать неформальное рассуждение о "возрастает" строгим.

[mihiv]

А может, "взять и поделить" все на $n^4$, а полученную 1 сравнить с тем, что зависит от $n$.

[nnosipov]

vpb в сообщении #1510838 писал(а):

Аж неудобно писать.

Согласен. Все настолько очевидно, что даже непонятно, кому в голову могла прийти идея сделать из этого задачу. Но если уж "динамить", то по полной программе, в стиле "дифференцируем до посинения": если все производные функции $f(n)=n^4-4n^2-2n$ при $n=6$ окажутся положительными (или хотя бы неотрицательными), то дело будет сделано.

[DjD USB]

$f(n)=n^4-4n^2-2n>n^4-4n^2-2n^2=n^2(n^2-6)>0$