Космический мусор

[fred1996]

Готовя очередного олимпиадника к первому туру всеамериканской олимпиады по физике ( это примерно уровень наших районных олимпиад), столкнулся с такой любопытной задачей.
Действие происходит на МКС.
Один некультурный астронавт ( типа американский) решил выбросить мусор. Он расположен так, что Земля находится слева, и лицом он по ходу вращения станции.
Он выбрасывает пакеты мусора по всем шести направлениям: налево, направо, вперёд, назад, вверх, вниз. Предположим, он их выбрасывает не с нулевой относительной скорость, а, скажем, 10 м/с относительно станции.
Через какое-то непродолжительное время он обнаруживает, что какой-то мусор вернулся на станцию. Вопрос. Какие из шести пакетов мусора могли таки вернуться на станцию?

Отмечу, что на 25 задач с multiple choice даётся 40 минут. Большинство задач достаточно простые, но некоторые (штук 5-6) требуют время подумать типа этой.

[eugensk]

Мусор будет двигаться по эллипсу немного отличающемуся от эллипса, по которому движется спутник:
- Эллипсы пересекаются в точке, где мусор выбрасывается.
- Касательные в точке пересечения идут в направлениях скоростей.
- Эллипс вытягивается, когда скорость добавляется, не меняя направления, и соотвественно, сокращается, если убавляется.
- Плоскости эллипсов проходят через центр Земли.

Всё, из этих соображений понятно, что подходит только случай вверх.

Если задание состояло в выборе правильных ответов, достаточно интуиции и двух-трех секунд :)

[DimaM]

eugensk в сообщении #1510723 писал(а):

из этих соображений понятно, что подходит только случай вверх

Случай вниз, если я правильно понял условие, от случая вверх ничем не отличается - дополнительная скорость перпендикулярна плоскости орбиты. Изменение периода в этих двух случаях квадратично по добавке скорости, то же верно для случаев влево и вправо (добавка скорости в направлении к центру Земли и от центра Земли).
В случаях вперед и назад изменение периода линейно по добавке скорости - видимо, эти случаи не подходят, а остальные четыре - подходят.

[eugensk]

Да, но ключевое условие "через какое-то непродолжительное время", то есть вторая точка пересечения должна быть близко, и находиться впереди первой.

Спутник и мусор прибудут во вторую точку немного в разное время, но мне кажется, что различие будет малой величиной более высокого порядка, чем расхождение орбит, и спутник можно считать достаточно протяженным. Я здесь плаваю, не смогу написать оценку.

-- 24 мар 2021, 08:38 --

Лицом по ходу вращения станции, значит лицом "вперед", но Земля слева, а не снизу. Значит, вверх переходит вправо, и правильный ответ вправо. Подловили.

[Sender]

Я думаю, только влево и вправо подходят, т.к. в остальных случаях надо прождать минимум полвитка.

[Pphantom]

По-видимому, в задаче неявно предполагается, что орбита МКС круговая (и это - с той точностью, с которой можно считать гравитационный потенциал Земли точечным - действительно так).

DimaM в сообщении #1510725 писал(а):

Случай вниз, если я правильно понял условие, от случая вверх ничем не отличается - дополнительная скорость перпендикулярна плоскости орбиты. Изменение периода в этих двух случаях квадратично по добавке скорости, то же верно для случаев влево и вправо (добавка скорости в направлении к центру Земли и от центра Земли).
В случаях вперед и назад изменение периода линейно по добавке скорости - видимо, эти случаи не подходят, а остальные четыре - подходят.

Тут вопрос, что считать "непродолжительным временем". Во всех "горизонтальных" случаях меняется модуль скорости мусора по сравнению с круговой (назад - уменьшается, в остальных случаях растет), получившиеся орбиты будут пересекаться с исходной только в одной точке, в которую МКС вернется только через полтора часа (даже если не обращать внимания на разные периоды движения по орбитам).

В "вертикальных" случаях точек пересечения будет две, но при отправке мусора вниз следующая встреча сможет произойти только почти через виток, т.е. те же полтора часа, и только при отправке его вверх есть шансы на встречу через меньшее время. Так что eugensk прав - если исходить из того, что у задачи есть ответ, то только "вверх".

[Sender]

Pphantom, вы учитываете в своих обозначениях, что

fred1996 в сообщении #1510722 писал(а):

Земля находится слева, и лицом он по ходу вращения станции.

?

[Pphantom]

Sender в сообщении #1510758 писал(а):

вы учитываете в своих обозначениях, что

А, действительно прозевал. Мой вариант предполагал, что Земля снизу.

Тогда в таких терминах ситуация с вперед-назад не меняется, вверх-вниз эквивалентно моим "вправо-влево", а единственным потенциально подходящим ответом является "вправо" (эквивалентный моему "вверх").

[DimaM]

Pphantom в сообщении #1510754 писал(а):

В "вертикальных" случаях точек пересечения будет две, но при отправке мусора вниз следующая встреча сможет произойти только почти через виток, т.е. те же полтора часа, и только при отправке его вверх есть шансы на встречу через меньшее время.

Почему такая разница?
При отправке в сторону Земли мусор прибудет во вторую точку пересечения раньше станции, при отправке от Земли - позже. Почему один случай отвергается, а второй нет?

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1510761 писал(а):

При отправке в сторону Земли мусор прибудет во вторую точку пересечения раньше станции, при отправке от Земли - позже. Почему один случай отвергается, а второй нет?

При отправке в сторону Земли вторая точка пересечения будет почти через оборот, а при отправке от Земли - сравнительно близко к первой.

Время прибытия в них в любом случае будет разным, в "точечном" приближении мусор со станцией просто не встретится, но сблизиться на небольшое расстояние может (и, по-видимому, это и предполагается в задаче).

[upgrade]

Pphantom в сообщении #1510766 писал(а):

а при отправке от Земли - сравнительно близко к первой.

Почему? Она же начнет отставать от станции и догонит станцию "снизу" только через виток, а брошенный мусор к земле начнет перегонять станцию, которая его догонит когда он будет "сверху" тоже через виток.
Навскидку - они все - станция, мусор, брошеный в плоскости, перпендикулярной направлению полета станции, встретятся в одной точке.

[DimaM]

Pphantom в сообщении #1510766 писал(а):

При отправке в сторону Земли вторая точка пересечения будет почти через оборот, а при отправке от Земли - сравнительно близко к первой.

Если бросать точно поперек, вторая точка пересечения будет через полвитка станции. Независимо от того, бросаем в сторону Земли или от нее.

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1510770 писал(а):

Если бросать точно поперек, вторая точка пересечения будет через полвитка станции. Независимо от того, бросаем в сторону Земли или от нее.

Почему именно через полвитка? Мы же тем самым немного меняем модуль орбитальной скорости (и, соответственно, не только эксцентриситет орбиты, но и большую полуось) А, все, дошло. Действительно, в такой ситуации сохраняется момент импульса, соответственно, не меняется и фокальный параметр, вы правы. Тогда действительно разница между этими двумя случаями отсутствует.

[EUgeneUS]

Pphantom в сообщении #1510792 писал(а):

Тогда действительно разница между этими двумя случаями отсутствует.

Разница в том, что пойдет ли мусор во вторую точку пересечения орбит выше или ниже орбиты орбиты МКС.
Путь, когда пойдет выше орбиты МКС, имхо, не подходит: период и так удлинится, а тут и путь больше и дальше.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1510795 писал(а):

Путь, когда пойдет выше орбиты МКС, имхо, не подходит: период и так удлинится, а тут и путь больше и дальше.

Считать надо. И услышать от начальника транспортного цеха, каков критерий для "могли таки вернуться", а также что такое "какое-то непродолжительное время".
Хотя да, интуитивно кажется, что прибавка в площади на дальней полупетле будет заметно больше, чем убавка на ближней.