Выражение потенциальной энергии массивного скалярного поля

[ErVynShred]

Здравствуйте, у меня один небольшой вопрос. Пусть у нас есть скалярное массивное поле, т.е. $\varphi \left (x^{\mu} ) \right = \alpha$, где $\alpha$-скаляр, а $m \geqslant 0$.
Имеем следующее выражение для действия: $S = \int \sqrt{-g}\left ( {\frac{1}{2}}{\partial_{\mu}\varphi}{\partial^{\mu}\varphi} - {\frac{1}{2}}{m^2}{\varphi^2} \right ){d^4}x$
Вопрос: как получилось выражение для потенциальной энергии $\Pi \left (\varphi \right ) = {\frac{1}{2}}{m^2}{\varphi^2} $, откуда взялась масса в квадрате, как её получить? Я попробовал разложить в ряд, но максимум, что получилось,-появление $\frac{1}{2}$ и \varphi^2$, а массы в других степенях

[Slav-27]

Плотность энергии скалярного поля равна $\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_0\varphi)}\partial_0\varphi-\mathcal L$, где $\mathcal L$ -- лагранжиан (то, что под интегралом). Или в чём вопрос?

[physicsworks]

ErVynShred в сообщении #1510549 писал(а):

как получилось выражение для потенциальной энергии $\Pi \left (\varphi \right ) = {\frac{1}{2}}{m^2}{\varphi^2} $, откуда взялась масса в квадрате, как её получить?

для свободного скалярного поля, действие которого вы рассматриваете, уравнения движения линейны по полю, поэтому лагранжиан квадратичный. Существует только два члена квадратичные по полю и удовлетворяющие условиям Лоренц-инвариантности, локальности, однородности пространства-времени, отсутствия производных по полю выше первой, а также с массовой размерностью 4: $\partial_{\mu} \varphi \partial^{\mu} \varphi$ и $m^2 \varphi^2$. А теперь сами ответьте на свой вопрос, а заодно и объясните зачем нужны каждое из перечисленных выше условий и добавлением какого члена в лагранжиан каждое из них можно нарушить.

[physicsworks]

physicsworks в сообщении #1510668 писал(а):

отсутствия производных по полю выше первой

отсутствия временных производных по полю выше первой, конечно