Иррациональный объем кувшина.

[statistonline]

Задача. Имеются две бочки неограниченного объема каждая. Имеется два кувшина, первый объемом $\sqrt{2}$ литров, второй объемом $2-\sqrt{2}$ литров. Можно ли, пользуясь этими кувшинами, перелить из бочки в бочку воду объемом точно 1 литр?
(задачу разбирал в качестве гумпомощи подрастающему соседскому подрастающему поколению. Сам не математик, поэтому и прошу проверить, верно ли использованы остатки знаний).
Соображения такие. Если я правильно понимаю, то мы в любом порядке пользуемся этими кувшинами до тех пор, льем туда и сюда, пока в одной бочке не будет на 1 литр больше, чем во второй. Пусть мы переливали $k$ раз воду первым кувшином и $l$ раз - вторым кувшином, $k, l \in Z$. Тогда, после всех переливаний, предполжим, что мы добились искомого и имеем
$k\sqrt{2}+l(2-\sqrt{2})=1$.
Вот это самый скользкий момент, в котором я не совсем уверен. Можно ли считать, что отрицательные значения $k$ и $l$ будут соответствовать добавлению (выливанию, если будет так условлено) воды из данной бочки? Дальше просто приводится к виду
$\sqrt{2}=\frac{1-2l}{k-2l}$,
чего не может быть, так как $\sqrt{2}$ - иррациональность. И тогда второй момент: если рассуждение верно, то почему у нас возникает в такой ситуации "разрывный" случай $k=2l$?

[iifat]

statistonline в сообщении #1509720 писал(а):

приводится

Не приводится. Там $k-l$ в знаменателе. А почему разрыв — ну, подставьте $k=l$ в исходное уравнение.

[EUgeneUS]

имхо, неспроста бочки бесконечные.
За бесконечное счетное количество итераций - можно.

[nnosipov]

EUgeneUS в сообщении #1509725 писал(а):

За бесконечное счетное количество итераций - можно.

Вы имеете в виду, что за счет выбора целых $k$ и $l$ число $k\sqrt{2}+l(2-\sqrt{2})$ можно сделать сколь угодно близким к $1$?

[statistonline]

iifat в сообщении #1509724 писал(а):

Не приводится. Там $k-l$ в знаменателе. А почему разрыв — ну, подставьте $k=l$ в исходное уравнение.

точно!

[EUgeneUS]

nnosipov в сообщении #1509729 писал(а):

Вы имеете в виду, что за счет выбора целых $k$ и $l$ число $k\sqrt{2}+l(2-\sqrt{2})$ можно сделать сколь угодно близким к $1$?

Да.

[amon]

statistonline в сообщении #1509720 писал(а):

мы в любом порядке пользуемся этими кувшинами до тех пор, льем туда и сюда, пока в одной бочке не будет на 1 литр больше, чем во второй.

IMHO, упускается возможность лить не только из бочки в бочку, но и из кружки в кружку.

[Sender]

amon в сообщении #1509755 писал(а):

IMHO, упускается возможность лить не только из бочки в бочку, но и из кружки в кружку.

Вроде бы это не выводит нас за пределы модуля над кольцом $\{k\sqrt{2}+l(2-\sqrt{2}):k,l\in \mathbb{Z}\}$, ведь эти операции дают нам возможность получить линейную комбинацию с целочисленными коэффициентами ёмкостей кружек и текущих объёмов их содержимого.

[statistonline]

amon в сообщении #1509755 писал(а):

IMHO, упускается возможность лить не только из бочки в бочку, но и из кружки в кружку.

Предположим, что у нас есть возможность переливать из большого кувшина в малый, чтобы точно отмерять объемы $2(\sqrt{2}-1)$ литров. Разве ситуация поменяется?

[StepV]

statistonline в сообщении #1509720 писал(а):

Можно ли, пользуясь этими кувшинами, перелить из бочки в бочку воду объемом точно 1 литр?
(задачу разбирал в качестве гумпомощи подрастающему соседскому подрастающему поколению. Сам не математик, поэтому и прошу проверить, верно ли использованы остатки знаний).

Если считать, что задача дана в школе для закрепления действий с иррациональными числами, то решается она очень просто.
Надо перелить воду из одного бака в другой, набрав по полкружки воды, каждой кружкой и, не задумываясь, как выполнить эту процедуру: $V=\frac {2-\sqrt{2}} 2 + \frac {\sqrt{2}} 2 = 1$ литр.

[EUgeneUS]

StepV
Так на задачу можно посмотреть и с точки зрения школьного курса физики. Тогда, конечно, можно. Ибо нет никаких законов физики, которые запретили бы переливание одного литра воды из одной бочки в другую.

А с точки зрения школьной математики
а) нужно отмерить точно
б) в рамках условий задачи нет методов, чтобы точно разделить кувшины пополам.

[StepV]

EUgeneUS в сообщении #1509856 писал(а):

А с точки зрения школьной математики
а) нужно отмерить точно

У меня, как и у ТС, был случай, соседский семиклассник пришел с задачей по геометрии (7 класс!!): "Доказать, что через точку над прямой можно провести только одну прямую параллельную данной".
И ничего. Семиклассники доказывают, не задумываясь о наличии сферических и гиперболических геометрий.
Предложенные вами методы с бесконечным суммированием для школы не подходят.

EUgeneUS в сообщении #1509725 писал(а):

имхо, неспроста бочки бесконечные.
За бесконечное счетное количество итераций - можно.

Так задачи в школе не решают. Поэтому либо решаете для себя по собственному интересу, либо уточняете, что соответствует методике и задачам преподавания в школе.

[arseniiv]

StepV в сообщении #1509862 писал(а):

Семиклассники доказывают, не задумываясь о наличии сферических и гиперболических геометрий.

Ну так они же евклидову проходят, а не их.