Поиск функциональной зависимости коэффициентов ряда

[reterty]

Мне нужна помощь уважаемых математиков форума. Имеется следующее разложение искомой функции в степенной ряд:

$$ F(p, \eta)=a(p)\eta^2-b(p)\eta^3+c(p)\eta^4,$$

где коэффициенты $a(p), b(p), c(p)>0$ для любого $p>0$. C физической точки зрения данная модельная функция описывает, согласно теории Ландау, тейлоровское разложение свободной энергии $F$ термодинамической системы в ряд по параметру порядка $\eta>0$ вблизи точки фазового перехода первого рода, который достигается путем увеличения давления $p$ при фиксированной температуре $T$ для веществ с аномальной зависимостью температуры плавления от давления (ее понижению с ростом $p$). Особенности этой функции следующие. При $\eta=0$ имеется локальный минимум. При больших значениях $\eta$ данная функция неограниченно возрастает. При относительно небольших значениях $p$ имеется глобальный минимум, соответствующий точке

$$\eta_0=\frac{3b(p)+\sqrt{9b^2(p)-32a(p)c(p)}}{8c(p)}.$$

Мне необходимо чтобы этот минимум "двигался вправо и вверх", проходя через нуль и становясь локальным минимумом (т.е. переставая быть глобальным минимумом). Я выяснил, что при увеличении коэффициентов $a(p)$ и $c(p)$ этот глобальный минимум движется вверх и влево, тогда как при увеличении $b(p)$ он сдвигается вниз и вправо. Пытался выбирать различные функциональные зависимости этих коэффициентов от параметра $p$ для смещения вправо и вверх но увы..... Основное требование к этим зависимостям-они должны быть по-возможности проще (линейные функции, константы). Чувствую, должен быть какой-то наработанный регулярный метод такого поиска функциональных зависимостей.

[svv]

А Вы не могли бы картинку нарисовать? Как примерно должна выглядеть функция от $\eta$ для нескольких $p$.

[reterty]

svv в сообщении #1509607 писал(а):

А Вы не могли бы картинку нарисовать? Как примерно должна выглядеть функция $\eta$ для нескольких $p$.

Это примерный вид функции $F(\eta)$, полученный путем увеличения коэффициента $a$. Правда, как видно, минимум $\eta_0$ сместился вверх (перестав быть при этом глобальным минимумом), но влево(((...а надо бы вправо. У меня уже начинает складываться ощущение, что такого компромисного варианта не существует...

[svv]

А на первой картинке есть (или должен быть) минимум в нуле? Плохо видно, не разобрать.

[alisa-lebovski]

А Вы параметризуйте многочлен этим минимумом, выразив коэффициенты через него, а потом двигайте как хотите.

[reterty]

svv в сообщении #1509621 писал(а):

А на первой картинке есть (или должен быть) минимум в нуле? Плохо видно, не разобрать.

Да, там всегда минимум. Кривая вблизи нуля -приближенно парабола с рогами вверх

-- Вт мар 16, 2021 22:50:42 --

alisa-lebovski в сообщении #1509628 писал(а):

А Вы параметризуйте многочлен этим минимумом, выразив коэффициенты через него, а потом двигайте как хотите.

Как аргументом так и значением функции в минимуме, или только аргументом $\eta_0$?

-- Вт мар 16, 2021 22:52:35 --

Вообще феноменологический подбор коэффициентов в теории Ландау-это ее слабое место. https://en.wikipedia.org/wiki/Landau_theory
специалист в этой области -Гуфан, это неоднократно отмечал....

[svv]

Функция $\eta^2\left( (\eta^2-p)^2 +p-1 \right)$ начиная примерно с $p>0.6$ ведёт себя правильно?
Wolfram Alpha

[alisa-lebovski]

svv в сообщении #1509648 писал(а):

Как аргументом так и значением функции в минимуме, или только аргументом $\eta_0$?

Обоими. Это два уравнения на параметры - от функции и от производной, плюс неравенство для второй производной. Но однозначности не дает, остается еще одна степень свободы.

[svv]

Это не я спрашивал

[alisa-lebovski]

svv в сообщении #1509730 писал(а):

Это не я спрашивал

Видимо, вставка глючит, авторов фраз путает.

[mihiv]

svv в сообщении #1509648 писал(а):

Функция $\eta^2\left( (\eta^2-p)^2 +p-1 \right)$ начиная примерно с $p>0.6$ ведёт себя правильно?

Достаточно взять функцию вида: $\eta ^2( (\eta -p)^2+q)$, (полином 4-й степени).