Вывод уравнения движения магнитного момента. Вращающаяся ск.

[Anton_74]

Magnetic Resonance Imaging Physical Principles and Sequence Design Second Edition By Robert W. Brown et. all © 2014 byJohn Wiley & Sons,Inc
Formula 3.13

Если есть вектор $\vec{m}$ (вектор магнитного момента $\vec{m}$ во внешнем поле $\vec{B}$), уравнение движения которого определяется так

$\frac{d \vec{m}}{dt} = $\gamma \vec{m} \times \vec{B} (3.12)

Если осуществить переход во вращающуюся ск (rotating reference frame), где $\vec{\Omega}$ вектора определющий вращение системы координат правилу буравчика.

Есть выражение, которое связывает компоененты ветокров в лаборотоной и вращающейся ск:

$\frac{d \vec{m}}{dt} = (\frac{d \vec{m}}{dt})' + \vec{\Omega } \times \vec{m} (3.11)$, где

$\vec{m} (t) = m_x (t) \hat{x} + m_y (t) \hat{y} + m_z (t) \hat{z}$, где $ \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} $ - бызисные орты в лабороторной ск,
$\vec{m'} (t) = m_x' (t) \hat{x'}(t) + m_y' (t) \hat{y'}(t)+ m_z' (t) \hat{z'} (t)$, где $ \hat{x'} (t), \hat{y'} (t), \hat{z'} (t) $ - бызисные орты во вращающейся ск.

В рузультате пробразования можно записать следующее

$(\frac{d \vec{m}}{dt})' = \gamma \vec{m} \times \vec{B}_{eff} (3.13)$, где
$ \vec{B}_{eff} = \vec{B} + \frac{\vec{\Omega}}{\gamma}$.

Вопрос в следующем, как надо расписывать векторное произведение в формуле (3.13)?

Векторное произведение двух векторов $[\vec{m}, \vec{B}_{eff}] = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\ m_x & m_y & m_z \\ B_{x_{eff}} & B_{y_{eff}} & B_{z_{eff}} \end{vmatrix}. $

Однако в форуле (3.13) слева записаны координаты в вращающейся ск. Не нужно ли в векторном произведении орты кординат в верхней строчке матрицы использовать $\hat{x'}, \hat{y'}, \hat{z'}$? А как тогда записывать компоненты вектора $\vec{m}$, как компоненты во вращающейся ск в векторном произведении? Ведь справа вектор $\vec{m}$ не штрихован.

[svv]

Векторы существуют безотносительно к базису, они не зависят от выбора базиса.
Выбрав базис, можно разложить по нему данный вектор. Коэффициенты, стоящие в этом разложении при базисных векторах, называются компонентами, или координатами в данном базисе.
Любой вектор можно разложить по любому базису. Сам вектор от базиса не зависит, зависят только его компоненты.

Из сказанного ясно, что помечать штрихом вектор, как относящийся к определённому базису, бессмысленно. Штрихом обозначаются компоненты. Авторы говорят об этом так (p.40): There is no need to distinguish between $\vec V'$ and $\vec V$ since they refer to the same vector.

Из этого правила есть два исключения:
1) Сами базисные векторы. Штрих (отсутствие штриха, два штриха, тильда и т.д.) указывает на определённый базис.
2) Обозначение производной по времени относительно того или иного базиса. Собственно, штрих относится не к самому вектору, а к оператору производной $D=\frac d{dt}$, так что это и не исключение. По определению
$\begin{array}{lll}D\vec V&=\frac{d\vec V}{dt}&=\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat x)\;\hat x+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat y)\;\hat y+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat z)\;\hat z\\[1ex]D'\vec V&=\left(\frac{d\vec V}{dt}\right)'&=\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat x')\;\hat x'+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat y')\;\hat y'+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat z')\;\hat z'\end{array}$
Каждый из этих операторов производной «считает» неподвижными векторы «своего» базиса.

Anton_74 в сообщении #1509346 писал(а):

Однако в форуле (3.13) слева записаны координаты в вращающейся ск.

Теперь Вы видите, что нет. К вектору $\vec V$ применён оператор производной $D'$ относительно штрихованного базиса. Полученный вектор (как и любой вектор) можно раскладывать по любому базису.

(Post scriptum)

Хотелось бы какой-то обратной связи (имею в виду и эту, и предыдущую тему), достаточно, если Вы напишете «всё понятно».

[Anton_74]

Спасибо, за подробный ответ!

svv в сообщении #1509395 писал(а):

Теперь Вы видите, что нет. К вектору $\vec V$ применён оператор производной $D'$ относительно штрихованного базиса. Полученный вектор (как и любой вектор) можно раскладывать по любому базису.

svv в сообщении #1509395 писал(а):

$\begin{array}{lll}D\vec V&=\frac{d\vec V}{dt}&=\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat x)\;\hat x+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat y)\;\hat y+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat z)\;\hat z\\[1ex]D'\vec V&=\left(\frac{d\vec V}{dt}\right)'&=\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat x')\;\hat x'+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat y')\;\hat y'+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat z')\;\hat z'\end{array}$

Спасибо, по поводу операторов стало яснее. Но, тогда в формуле

Anton_74 в сообщении #1509346 писал(а):

$(\frac{d \vec{m}}{dt})' = \gamma \vec{m} \times \vec{B}_{eff} (3.13)$

мы примем, что слева вектор записан в штрихованном базисе.

А как справа его выразить в штрихованном? Я просто не могу понять, какие базисные вектора выбрать в вектром произведении

Anton_74 в сообщении #1509346 писал(а):

$[\vec{m}, \vec{B}_{eff}] = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\ m_x & m_y & m_z \\ B_{x_{eff}} & B_{y_{eff}} & B_{z_{eff}} \end{vmatrix}. $

Или српава надо записать комопненты вектров в штрихованной ск, и базисные вектора тоже?

[svv]

По поводу формулы (3.13) — вектор слева не записан ни в каком базисе, ни в штрихованном, ни в нештрихованном.
Во-первых, как уже говорилось, векторы существуют сами по себе и не зависят от введения каких-либо базисов.
Во-вторых, штрих тут относится не к вектору самому по себе, а к оператору производной. Он означает определённый способ вычисления производной по времени. Дело в том, что производную по времени от вектора можно находить по-разному, в зависимости от того, векторы какого базиса считаются неподвижными. Например, можно находить производную $(\frac d{dt}...)'$, когда векторы $\hat x',\hat y', \hat z'$ считаются неподвижными. Независимо от этого выбора полученный вектор не относится к какому-то базису (просто потому, что это — вектор). Как левую, так и правую часть (3.13) можно разложить по любому базису, можно даже левую часть разложить по одному базису, а правую по другому и приравнять!

Anton_74 в сообщении #1509424 писал(а):

А как справа его выразить в штрихованном? Я просто не могу понять, какие базисные вектора выбрать в вектром произведении

$\vec\mu\times\vec B_{\text{eff}}=\begin{vmatrix}\hat x & \hat y & \hat z\\ m_x & m_y & m_z \\ B_{\text{eff}\,x} & B_{\text{eff}\,y} & B_{\text{eff}\,z}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\hat x' & \hat y' & \hat z'\\ m_{x'} & m_{y'} & m_{z'} \\ B_{\text{eff}\,x'} & B_{\text{eff}\,y'} & B_{\text{eff}\,z'}\end{vmatrix}$
Обратите внимание, что все три выражения равны одному и тому же вектору.

[Anton_74]

Да, но для получения уравнений движения надо все таки выражать в одной системе координат? И обычно выражают в той, где более удобно используются свойства симметрии.

В данном случае переход во штрихованную ск упрощает уравнение движения, и делает его более понятным.

Получается, если вектор слева выражен через штрихованный базис, то и справа он должен быть выражен через штрихованный. В итоге надо получить систему дифференциальных уравнений, которую в последствии решить?

[svv]

Да, это верно. Если левую и правую часть разложить по одному базису, можно в силу линейной независимости базисных векторов приравнять стоящие слева и справа коэффициенты разложения, стоящие при одном и том же базисном векторе:
$\vec V=\vec W \Rightarrow V_x\hat e_x+V_y\hat e_y+V_z\hat e_z=W_x\hat e_x+W_y\hat e_y+W_z\hat e_z\Rightarrow\begin{cases}V_x=W_x\\V_y=W_y\\V_z=W_z\end{cases}$

Кстати (к моиму предыдущему сообщению) — вполне осмысленной операцией является разложение вектора одного базиса по векторам другого базиса. Используется при замене базиса. То есть даже базисные векторы не исключение — их можно раскладывать по любому базису.

[Anton_74]

svv в сообщении #1509470 писал(а):

Да, это верно. Если левую и правую часть разложить по одному базису, можно в силу линейной независимости базисных векторов приравнять стоящие слева и справа коэффициенты разложения, стоящие при одном и том же базисном векторе:
$\vec V=\vec W \Rightarrow V_x\hat e_x+V_y\hat e_y+V_z\hat e_z=W_x\hat e_x+W_y\hat e_y+W_z\hat e_z\Rightarrow\begin{cases}V_x=W_x\\V_y=W_y\\V_z=W_z\end{cases}$

Кстати (к моиму предыдущему сообщению) — вполне осмысленной операцией является разложение вектора одного базиса по векторам другого базиса. Используется при замене базиса. То есть даже базисные векторы не исключение — их можно раскладывать по любому базису.

Дело в том, что далее в книге, постоянно используется это преобразование (3.11) для получения уравнений движения в штрихованной ск. Например уравнение движения (3.26) в штрихованной ск.
$\left( \frac{d\vec{m}}{dt} \right)' = \vec{m} \times \left[ \hat{z}' (\omega_0 - \omega)) + \hat{x}' \omega_1 \right] = \gamma \vec{m} \times \vec{B}_{eff}$
Слева вектро записан в штрихованной ск, справа есть базисные векторы в штрихованной ск, а сам вектор $\vec{m}$ как будто в лабораторной ск.

Вот тут есть примеры использования этих выводов (слайды 5-7), где написано, что слева и справа подразумевается вектор $\vec{m}$ в штрихованной ск.
https://mrrl.ucla.edu/file/48142/M219_2 ... xation.pdf
Но там неясно, как осуществляется переход к штрихованной ск.

svv в сообщении #1509436 писал(а):

$\vec\mu\times\vec B_{\text{eff}}=\begin{vmatrix}\hat x & \hat y & \hat z\\ m_x & m_y & m_z \\ B_{\text{eff}\,x} & B_{\text{eff}\,y} & B_{\text{eff}\,z}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\hat x' & \hat y' & \hat z'\\ m_{x'} & m_{y'} & m_{z'} \\ B_{\text{eff}\,x'} & B_{\text{eff}\,y'} & B_{\text{eff}\,z'}\end{vmatrix}$
Обратите внимание, что все три выражения равны одному и тому же вектору.

Получается мне можно записывать второй определитель, главное понимать, что вектор $\vec{B}_{eff} $ должен быть описан в штрихованной ск?

[svv]

Anton_74 в сообщении #1509476 писал(а):

Слева вектро записан в штрихованной ск, справа есть базисные векторы в штрихованной ск, а сам вектор $\vec{m}$ как будто в лабораторной ск.

Вот тут есть примеры использования этих выводов (слайды 5-7), где написано, что слева и справа подразумевается вектор $\vec{m}$ в штрихованной ск.

Значит, Вы мне не поверили.
В (3.26) записан сам вектор $\vec m$, а не его компоненты, верно? Взгляните:

В книге «$\vec m$ в лабораторной СК» и «$\vec m$ во вращающейся СК» никак не различаются (и это правильно!). Есть только один $\vec m$, и нет никакого смысла уточнять «$\vec m$ в штрихованной СК». Разница между $\frac{d\vec m}{dt}$ и $(\frac{d\vec m}{dt})'$ не в используемом векторе $\vec m$, а в операторе производной.

Точка зрения, что есть два разных вектора $\vec m$ — штрихованный и нештрихованный, и нужно понимать, где какой используется, а если взять «не тот», то будет неправильно, может вызвать проблемы с пониманием материала.

Векторы и были придуманы как величины, не связанные с конкретной системой координат. Если авторы в (3.26) пишут $\vec m$, значит, они хотят говорить о дипольном моменте без привязки к конкретной СК. Вот когда они разложат этот вектор по базису — тогда и появятся величины, зависящие от базиса (компоненты), но не раньше.

-- Вт мар 16, 2021 11:55:45 --

Anton_74 в сообщении #1509476 писал(а):

Получается мне можно записывать второй определитель, главное понимать, что вектор $\vec{B}_{eff} $ должен быть описан в штрихованной ск?

Если в верхней строке определителя Вы записали векторы некоторого базиса (например, штрихованного), то в остальных строках должны быть компоненты векторов в том же базисе.

[Anton_74]

svv в сообщении #1509494 писал(а):

Если в верхней строке определителя векторы штрихованного базиса, то и в остальных строках должны быть компоненты векторов в том же базисе.

Видимо давно проходил это. Но про дифференциальные операторы тонкое замечание, в книге не отражено.
Спасибо за подробное объяснение.

Можете посоветовать какой-нибудь источник посоветовать с похожими примерами?

-- Вт мар 16, 2021 17:15:16 --

svv в сообщении #1509494 писал(а):

Если в верхней строке определителя векторы штрихованного базиса, то и в остальных строках должны быть компоненты векторов в том же базисе.

Видимо давно проходил это. Но про дифференциальные операторы тонкое замечание, в книге не отражено.
Спасибо за подробное объяснение.

Можете посоветовать какой-нибудь источник посоветовать с похожими примерами?

[svv]

Книга Magnetic Resonance Imaging (насколько могу видеть) неплохая, написана аккуратно, явных ошибок в формулах не заметил. Но понятно, что в качестве учебника по векторному анализу лучше использовать учебник по векторному анализу.

Конкретную книгу порекомендовать не смогу, прошу в этом помощи у других участников.

[Anton_74]

svv в сообщении #1509570 писал(а):

Книга Magnetic Resonance Imaging (насколько могу видеть) неплохая, написана аккуратно, явных ошибок в формулах не заметил. Но понятно, что в качестве учебника по векторному анализу лучше использовать учебник по векторному анализу.

Конкретную книгу порекомендовать не смогу, прошу в этом помощи у других участников.

Тогда надо посмотреть тему - производная в векторном анализе и преобразование координат.