Векторы существуют безотносительно к базису, они не зависят от выбора базиса.
Выбрав базис, можно разложить по нему данный вектор. Коэффициенты, стоящие в этом разложении при базисных векторах, называются компонентами, или координатами в данном базисе.
Любой вектор можно разложить по любому базису. Сам вектор от базиса не зависит, зависят только его компоненты.
Из сказанного ясно, что
помечать штрихом вектор, как относящийся к определённому базису, бессмысленно. Штрихом обозначаются компоненты. Авторы говорят об этом так (p.40): There is no need to distinguish between

and

since they refer to the same vector.
Из этого правила есть два исключения:
1) Сами базисные векторы. Штрих (отсутствие штриха, два штриха, тильда и т.д.) указывает на определённый базис.
2) Обозначение производной по времени относительно того или иного базиса. Собственно, штрих относится не к самому вектору, а к оператору производной

, так что это и не исключение. По определению
![$\begin{array}{lll}D\vec V&=\frac{d\vec V}{dt}&=\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat x)\;\hat x+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat y)\;\hat y+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat z)\;\hat z\\[1ex]D'\vec V&=\left(\frac{d\vec V}{dt}\right)'&=\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat x')\;\hat x'+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat y')\;\hat y'+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat z')\;\hat z'\end{array}$ $\begin{array}{lll}D\vec V&=\frac{d\vec V}{dt}&=\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat x)\;\hat x+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat y)\;\hat y+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat z)\;\hat z\\[1ex]D'\vec V&=\left(\frac{d\vec V}{dt}\right)'&=\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat x')\;\hat x'+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat y')\;\hat y'+\frac d{dt}(\vec V\cdot\hat z')\;\hat z'\end{array}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/0/2c00aecf4411c97945c5a94f9e0630fa82.png)
Каждый из этих операторов производной «считает» неподвижными векторы «своего» базиса.
Однако в форуле (3.13) слева записаны координаты в вращающейся ск.
Теперь Вы видите, что нет. К вектору

применён оператор производной

относительно штрихованного базиса. Полученный вектор (как и любой вектор) можно раскладывать по любому базису.
(Post scriptum)
Хотелось бы какой-то обратной связи (имею в виду и эту, и
предыдущую тему), достаточно, если Вы напишете «всё понятно».