Как найти сумму ряда?

[IvanX]

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n^4+n^2+1)}$$

Знаю только два стандартных способа нахождения суммы ряда:

1. По определению, как предел частичных сумм. Иногда получается увидеть закономерность и вывести формулу для $n$-ой частичной суммы. Безуспешно пытался найти закономерность и получить формулу.

2. Подобрать функцию так, чтоб это был ее ряд Тейлора при каком-то $x=x_0$. Так, например, можно показать, что

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{n}+... = \ln 2$$

Но, судя по вычислениям в wolfram alpha, соответствующий ряд Тейлора определяет функцию, которая не выражается в элементарных.

Какие еще есть методы нахождения суммы ряда? Подскажите, в каком направлении искать.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[IvanX]

Заметил, что

$$n^4+n^2+1=(n^2-n+1)(n^2+n+1)=(n^2-n+1)((n+1)^2-(n+1)+1),$$

поэтому

$$ \frac{1}{n^4+n^2+1}= \frac{1}{2n} \cdot \left( \frac{1}{n^2-n+1} - \frac{1}{(n+1)^2-(n+1)+1}\right) $$

Хотелось бы, чтоб что-то соседнее сократилось, но не пойму как дальше

[Dmitriy40]

ВольфрамАльфа пренебрёг скобкой в знаменателе и посчитал сумму лишь с факториалом. Что впрочем понятно, ведь для больших $n$ выполняется $n!\gg(n^4+n^2+1)$ и соответственно $n!(n^4+n^2+1)\approx n!$. (UPD: не прав.) Вопрос с началом суммы (при малых $n$) и доказательством перехода остаётся.

[venco]

IvanX, подход правильный. Теперь объедините подходящие слагаемые из соседних итераций (не забыв про факториалы), и ряд заметно упростится. Потом проделать аналогичную операцию ещё раз, и станет совсем хорошо.

-- Сб мар 13, 2021 21:11:26 --

Dmitriy40 в сообщении #1509125 писал(а):

ВольфрамАльфа пренебрёг скобкой в знаменателе

Почему вы так решили? Как вы думаете, откуда Вольфрам взял двойку?

[Dmitriy40]

Да, был не прав, согласен.

[novichok2018]

Wolfram Alpha даёт совсем простой ответ: e/2.