Погрешность vs точность

[geomath]

Погрешность и точность - в чем разница между этими понятиями? Не в смысле, что одна убывает, когда другая возрастает, а вообще. Посмотрел учебник: Амосов А.А. и др. "Вычислительные методы для инженеров", 1994, но так и не понял.

стр. 26 писал(а):

З а м е ч а н и е. В литературе по методам вычислений широко
используется термин "точность". Принято говорить о точности
входных данных и решения, о повышении и снижении точности
вычислений и т.д. Мы также будем использовать эту
терминологию, за которой скрывается довольно простой смысл. Точность в
качественных рассуждениях обычно выступает как
противоположность погрешности, хотя для количественного их измерения
используются одни и те же характеристики (например, абсолютная и
относительная погрешности). Точное значение величины — это
значение, не содержащее погрешности. Повышение точности
воспринимается как уменьшение погрешности, а снижение точности —
как увеличение погрешности. Часто используемая фраза "требуется
найти решение с заданной точностью $\varepsilon$" означает, что ставится
задача о нахождении приближенного решения, принятая мера
погрешности которого не превышает заданной величины $\varepsilon$. Вообще
говоря, следовало бы говорить об абсолютной точности и
относительной точности, но часто этого не делают, считая, что из
контекста ясно, как измеряется величина погрешности.

[Евгений Машеров]

Я бы сказал, что точность - качественная характеристика, а погрешность - количественно измеримая. Можно говорить о точном и приближённом решении, но если, сравнивая приближённые результаты, говорим: "точность результата выросла", то это не более чем "допустимый троп", правильнее говорить "(такая-то) мера погрешности уменьшилась". Но если мы не хотим или не можем уточнить, какая именно мера погрешности (абсолютная или относительная погрешность, средняя квадратичная, средняя абсолютная или максимальная, или речь идёт о доверительном или фидуциальном интервалах, и для какой вероятности), то заявляем о "повышении точности". Тем более, если не можем доказать снижения погрешности, максимум - проиллюстрировать на частном примере.

[Dmitriy40]

В области вычислений точность часто используется как простая количественная характеристика, например "точность 7 знаков" обычно подразумевает что значение известно/вычислено с погрешностью не больше чем в восьмом значащем знаке и 7 старших значащих цифры более-менее верные (более-менее потому что значение например $3.1253$ с точностью до трёх знаков могут записывать и как $3.12$ и как $3.13$ и как $3.13\pm0.01$ и как $3.13\pm0.005$ и ещё некоторые менее распространённые варианты). В этом смысле именно точность удобна чтобы понять сколько верных (в указанном смысле) знаков можно ожидать, независимо от абсолютной погрешности, да и относительной во многом тоже (относительная погрешность $3.12\pm0.01$ и $9.93\pm0.01$ разная, а точность одинаковая). Удобство и в том что абсолютная погрешность может быть скажем $10^{-30}$ (вроде офигительно хорошая), а точность одна цифра или даже меньше ... Точность в данном случае более информативна в применении к вычислениям.

[geomath]

Евгений Машеров в сообщении #1508966 писал(а):

Я бы сказал, что точность - качественная характеристика, а погрешность - количественно измеримая.

А казалось бы, наоборот: точность должна быть более точным и поэтому количественным понятием, а погрешность - качественным.

Dmitriy40 в сообщении #1508968 писал(а):

В области вычислений точность часто используется как простая количественная характеристика, например...

То, что это часто именно "простая" характеристика, а не сложная, - за этим что-нибудь стоит? А качественное, получается, - это нечто более сложное?

[Dmitriy40]

"Простая" в смысле менее точная и более понятная и удобная человеку.
Самым точным будет скорее всего указание типа/вида и величины погрешности. Например абсолютная $\pm0.001$. Или относительная $1\%$. А ещё часто применяется относительная от верхнего предела некоей величины (шкалы прибора или диапазона представимых чисел или диапазона нормализованных чисел с одинаковой величиной показателя).
А точность в три знака не указывает ни на абсолютную погрешность, ни на относительную (с некоторыми оговорками), зато человеку очень даже понятно что число с точностью в три знака $3.12$ отличается от точного значения менее чем на $0.01$ (а часто и менее чем на $0.005$, зависит от соглашения).
Связаны же они произведением, для точности в $7$ знаков погрешность (относительная от верхнего предела) составит $10^{-7}$ или $10^{-k}$. Т.е. если понимать точность в $k$ знаков как представимость чисел до $10^k$, то произведение точности $10^k$ и погрешности (указанного типа) $10^{-k}$ даст $1$. Фактически видя погрешность $10^{-5}$ можно сразу сказать что точность составляет $5$ "верных" знаков (верных в смысле см.выше, могут и отличаться, но не более чем на единицу младшей значащей цифры). На самом деле объяснять дольше чем показать на примерах.

Изредка применяется и не целая точность, например $7.2$ знака как в компьютерном формате single, в таком случае она понимается как (десятичный) логарифм отношения максимального возможного значения представимого числа к его минимальному представимому приращению (без изменения порядка в экспоненциальном представлении) (собственно так точность и определяется). Например если числа представлены как целые до $3000$ с шагом $6$ единиц, то точность составит $\lg(3000/6)\approx 2.7$ знаков, не три и не два. Иногда это важно, и что максимальное число не состоит из всех девяток, и/или что шаг не обязательно равен единице младшего разряда. Ещё пример, в двоичной системе, число из 8 битов имеет точность $\lg((2^{8}-1)/1)\approx2.4$ десятичных знака, независимо от положения десятичной или двоичной точки, хоть $xxx.xxxxx_2$, хоть $xxxxxxxx0000000000_2$, хоть $0.0000xxxxxxxx_2$ (запись в двоичной системе).

PS. Обращу внимание что в метрологии (и более обще в математике) погрешность понимается гораздо более строго и больше их типов, как выше правильно указано. Я говорю лишь о вычислительных приложениях.

[geomath]

По факту "погрешность" в связи с вычислениями более употребительна, чем "точность". В упомянутом учебнике (учебном пособии, точнее) гнездо "Погрешность" в предметном указателе состоит из 17 понятий, а гнездо "Точность" - всего из 4. Но это мало что объясняет.

Возьмем нефтяников. У них есть похожая пара: запасы и ресурсы нефти. И они их четко разливают: запасы они подсчитывают и учитывают, а ресурсы - оценивают и учитывают. Но вот насчет погрешности и точности это у них не отрегулировано. Поэтому как лучше сказать: точность подсчета или его погрешность? точность оценки или ее погрешность? или лучше их не различать, а использовать преимущественно что-то одно, скажем погрешность?

"И они их четко различают." Кстати, президент В.В. Путин, когда говорит о нефти и газе, я обратил внимание, тоже вполне их различает.

[Dmitriy40]

geomath в сообщении #1508993 писал(а):

Поэтому как лучше сказать: точность подсчета или его погрешность? точность оценки или ее погрешность? или лучше их не различать, а использовать преимущественно что-то одно, скажем погрешность?

Что понятнее, "5млн тонн с точностью в 3 знака" или "5млн тонн с погрешностью в 10тыс."? А если будут два разных числа, например "5млн тонн с тремя знаками в одном месте и 15трлн тонн с тремя знаками во втором месте" или "5млн плюс-минус 10тысяч кубометров в одном месте и 15трлн плюс-минус 100млрд во втором месте"? Видите что при одинаковой точности погрешности очень сильно разные? А ведь несмотря на это обе величины оценены достаточно хорошо/точно, если не сказать великолепно (для запасов ископаемых три верных знака это очень много).
Другой пример: допустим программа посчитала результат с абсолютной погрешностью $10^{-20}$ — это хорошо ли плохо? Вообще говоря неизвестно, для веса человека в кг прекрасно, для массы электрона в кг это невероятно плохо. А если она посчитала результат с точностью в 20 знаков — это как минимум очень неплохо, и для веса человека и для электрона.
Но да, точность более-менее преобразуется в относительную погрешность и обратно, именно относительную, да ещё и с дополнительными оговорками (что она относительна от верхнего предела представимых/используемых чисел). Фактически во многих случаях их можно более-менее свободно заменять друг на друга. Но не во всех. А абсолютная погрешность уже совсем другое.
Я бы сказал что точность менее привязана к конкретным величинам чисел и указывает скорее на их точность (сорри за тавтологию) независимо от конкретной величины. Ну и посчитать легко, логарифм отношения и всё. Но погрешность проще вычислить, просто разность двух чисел (поделенная на одно из них для относительной). И при операциях с числами проще вычислить погрешность, а не точность.
Получается что точность более содержательна для самого числа, а погрешность для операций над числами. Впрочем это уже всё IMHO.

-- 13.03.2021, 13:06 --

geomath
Ну и к тому же связь точности и погрешности приведена буквально на следующей странице пособия, предложение 2.1 внизу 27 страницы. Собственно там на 27 странице в пункте 2 параграфа 2.2 объяснено всё что выше набирал ...

[Александрович]

Погрешность - неточность, полученная при измерениях или при расчётах с неточными данными.

[geomath]

Может, кто не знает, а я узнал только относительно недавно, что есть ГОСТ Р 54500.3-2011 - Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения, новее не знаю. Это перевод международного стандарта. Всё собираюсь его прочитать, но никак не соберусь, 100 с лишним страниц. Сейчас посмотрел: "«Точность» является качественным понятием". Правильно Евгений Машеров написал.

[Dmitriy40]

geomath
И где там про вычислительные методы? А в метрологии погрешность и точность могут иметь несколько другие смыслы. Всё же погрешность измерения и погрешность вычислений довольно разные величины, с разными поведением, причинами, статистическими характеристиками и прочим.
Насчёт качественного тоже не совсем согласен, точность можно определить просто как логарифм отношения двух чисел. Где здесь качество? Сплошное количество.

[alisa-lebovski]

Меня учили, что точность и погрешность - это одно и то же, например, при построении доверительного интервала, если он симметричен относительно среднего, то это половина его длины. С точностью возникает только проблема с русским языком, потому что бытовые выражения "бОльшая точность" и "увеличить точность" означают наоборот, что она меньше.

[geomath]

Dmitriy40 в сообщении #1509025 писал(а):

точность можно определить просто как логарифм отношения двух чисел

Я такого не встречал. Про значащие и верные цифры знаю, сам иногда округляю с точностью до пятерки и тогда пишу 0 или 5 курсивом, а про логарифм не знаю, зачем это.

[Emergency]

geomath в сообщении #1508962 писал(а):

Погрешность и точность - в чем разница между этими понятиями?

Разница не только между понятиями, но и тем, кто и для чего их применяет.
Например, для приборов точностью часто называют "квант" его измерения - обычно, половину деления шкалы. Второй вопрос - как часто наносить деления. Их положено наносить так, чтобы общая погрешность прибора не превышала тех самых половины деления шкалы. Таким образом круг замыкается и точность становится равна погрешности. :)

[Dmitriy40]

Зачем именно логарифм сказать сложно (математика его требует), но вот зачем нецелые значения точности в цифрах — есть такие примеры. Скажем хотите запомнить некую величину в интервале $[0;1)$ с точностью "почти" 5 знаков после запятой, вопрос сколько для этого нужно битов. Раз знаков 5, значит шаг (и погрешность) $10^{-5}$ и всего нужно $10^5$ различных чисел, это $17$ битов, что неудобно, $16$ битов намного удобнее, но они дают точность лишь $\lg(2^{16}/1)\approx4.8$ десятичных знака, а значит хоть и будут меняться все 5 цифр после запятой, но не все комбинации всех 5-ти цифр будут представлены, например не будет числа $0.12345$, после $0.12344$ будет сразу $0.12346$ (при округлении к ближайшему, при округлении к нулю aka усекновении не будет каких-то других чисел). Т.е. шаг представления чисел будет не $0.00001$, а $1/2^{16}\approx0.00001526$, что может быть вполне допустимым в конкретном приложении. С 16-ю битами пример больше надуманный/специфичный, но вот например стандартный компьютерный тип double имеет точность $15.95$ десятичных знака, т.е. не любые комбинации из $10^{16}$ представимы, но непредставимых относительно мало (логарифм близок к $16$) и практически наткнуться на непредставимое число при расчётах маловероятно, хотя враг человек вполне может взять и ввести его и если его же сразу якобы без всяких преобразований вывести обратно, то оно уже будет отличаться от введённого.

[arseniiv]

Я просто кину вот такую ссылочку: https://en.wikipedia.org/wiki/Accuracy_and_precision

Тема там намного интереснее, по-моему.