Вывод формулы для векторного потенциала.

[Anton_74]

Magnetic Resonance Imaging Physical Principles and Sequence Design Second Edition By Robert W. Brown et. all © 2014 byJohn Wiley & Sons,Inc
Formula 7.10

Иммеется вывод формулы для векторного потенциала.

Цитата:

There is a magnetic field associated with the magnetization of a sample arising from the effective current density

$\vec{J_M}(\vec{r}, t) = \vec{\nabla} \times \vec{M}(\vec{r}, t) (7.5) $

A current density $\vec{J}$ implies $\left\lvert \vec{J} \right\rvert$ charge per unit time per unit area in the direction of $\hat{J}$. The curl operation in (7.5) computes the net ‘circulation’ of the magnetization. To get a feel for this, magnetization can be approximated as a density distribution of many small current loops. The net currents associated with these loops correspond to the effective current density (7.5).

The vector potential at position $\vec{r}$ stemming from a source current, such as (7.5), is

$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int d^3 r' \frac{\vec{J}(\vec{r'}) } {\left\lvert \vec{r} - \vec{r'} \right\rvert} (7.6)$

where the time dependence has been suppressed and the ‘gauge choice’ is left understood. The effects due to the time delay between the source and the measurement of the field are ignored. The magnetic field is calculated from

$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} (7.7)$

Using (7.7) and Stokes’ theorem it is possible to write the flux (7.2) through a coil in terms of the vector potential

$\Phi = \int\limits_{area} \vec{B} \cdot \vec{dS} = \int\limits_{area} \left(\vec{\nabla} \times \vec{A} \right) \cdot \vec{dS} = \oint\limits_{}^{}d\vec{l} \cdot \vec{A} (7.8)$

A detailed derivation demonstrating that the flux $\Phi_M$ through a coil due to a magnetization source can be related to a flux due to the coil that goes through the magnetization is given next. The use of (7.5), (7.6) and (7.8), an integration by parts (where a surface term can be ignored for finite sources), and the vector identity, $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = - (\vec{A} \times \vec{C}) \cdot \vec{B} $, respectively, give

$\Phi = \oint d\vec{l} \cdot \left[ \frac{\mu_0}{4\pi} \int d^3r' \frac{\vec{\nabla}' \times \vec{M}(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}\right] = \frac{\mu_0}{4\pi} \int d^3r' \oint d\vec{l} \cdot \left[(- \vec{\nabla}' \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'| ) } \times \vec{M}(\vec{r}') \right]=\frac{\mu_0}{4\pi} \int d^3r' \vec{M}(\vec{r}') \cdot \left[{\vec{\nabla}' \times (\oint \frac{d \vec{l}}{|\vec{r} - \vec{r}'|})} \right](7.9) $

The version of (7.6) for current loops, now evaluated at position $\vec{r}'$,

$\vec{A}(\vec{r}') = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I d\vec{l}}{|\vec{r} - \vec{r}'|} (7.10)$

1. Видимо в формуле (7.9) опечатка. Там в векторном произведении поменять местами $\vec{\nabla}' $ и $\vec{M}(\vec{r}')$;

2. Но главный вопрос по форуле (7.10). Что означает потенциал $\vec{A}$ от вектора $\vec{r}'$? Ведь этот вектор означал интегрирование по некоторому объему, в котором существует ненулевая плотность тока $\vec{J}$. Как это понимать физически?

[svv]

1. Я не нашёл ошибки. Скачал книгу для полной уверенности. В книге формула (7.9) располагается в три строки. В которой из них Вы видите ошибку?

Первая строка получается подстановкой (7.5) в (7.6), и потом подстановкой результата в (7.8).

Вторая строка получается из первой применением формулы
$f\vec\nabla\times\vec M+(\vec\nabla f)\times \vec M = \vec\nabla\times(f\vec M)$
(Корн, справочник по математике, с.172)
Тут $f=\frac 1{|\vec r-\vec r'|}$
Правая часть есть "полный ротор", и объёмный интеграл от неё по всему пространству равен нулю (т.к. сводится к поверхностному интегралу по бесконечно удалённой поверхности, где поля быстро убывают).
Если же перенести второе слагаемое в правую часть, оно окажется с минусом.

[EUgeneUS]

Anton_74 в сообщении #1508860 писал(а):

2.

в (7.10), в отличие от (7.6), интегрирование проводится по $\vec{d l}$ без штриха. А значит получается векторный потенциал в точке $\vec{r'}$ (со штрихом), как и написано.

[svv]

Добавлю к сообщению уважаемого EUgeneUS комментарий по поводу физического смысла (7.10) и вообще вывода. То, что всё это вариации на тему принципа взаимности, это Вы, конечно, знаете.

Вот что хотят сказать авторы. Вообще-то источники магнитного поля у нас находятся в области, по которой бегает вектор ${\vec r}\,'$. А мы ищем поток через контур $C$, по которому бегает вектор $\vec r$. Но в процессе вывода у нас (в силу принципа взаимности) получилось выражение, которое поразительно напоминает векторный потенциал (7.10) и магнитное поле (7.11) в точке ${\vec r}\,'$, которые были бы созданы единичным током, если бы мы его пустили по контуру $C$.

[Anton_74]

svv в сообщении #1508885 писал(а):

Я не нашёл ошибки. Скачал книгу для полной уверенности. В книге формула (7.9) располагается в три строки. В которой из них Вы видите ошибку?

Там под интегралом выражение
$\frac{\vec{\nabla}' \times \vec{M}}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$.

Я предполагаю, что порядок интегрирования это как перестановка слагаемых - проинтегрировать весь вектор по объему и найти его циркуляцию или же найти циркуляцию для вектора в элементарном объеме, а потом их сложить (проинтегрировать).

Поэтому я рассматривал выражение $d\vec{l} \cdot \frac{\vec{\nabla}' \times \vec{M}}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$ как смешенное произведение.

Во второй строчке появляется минус (см. 7.9), хотя порядок векторов в смешанном произведении не поменялся.

$d\vec{l} \cdot \frac{\vec{\nabla}' \times \vec{M}}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = -d\vec{l} \cdot \frac{ \vec{M} \times \vec{\nabla}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = - \vec{M} \cdot \frac{\vec{\nabla}' \times d\vec{l}}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$

Векторное произведение не коммутативно, там должен появляться знак минус, поэтому я и подумал, что скорее всего опечатка. Забыли поменять местами вектора $\vec{\nabla}' $ и $\vec{M}$.

-- Пн мар 15, 2021 23:38:13 --

EUgeneUS в сообщении #1508887 писал(а):

в (7.10), в отличие от (7.6), интегрирование проводится по $\vec{d l}$ без штриха. А значит получается векторный потенциал в точке $\vec{r'}$ (со штрихом), как и написано.

Так о том и речь! Насколько я понял, векторный потенциал он как бы показывает как будет выглядеть вектор магнитной индукции если применить оператор div к этому вектроному потенциалу. Причиной возникновения векторного потенциала, является токи какой-то природы в некотором объекте(см. 7.6). И чтобы найти векторный потенциал вокруг этого объекта, то и применяют формулу (7.6). А тат как-то хитро векторный потенциал в самом объекте. Я поэтому и не понял.

svv в сообщении #1508893 писал(а):

Вот что хотят сказать авторы. Вообще-то источники магнитного поля у нас находятся в области, по которой бегает вектор ${\vec r}\,'$. А мы ищем поток через контур $C$, по которому бегает вектор $\vec r$. Но в процессе вывода у нас (в силу принципа взаимности) получилось выражение, которое поразительно напоминает векторный потенциал (7.10) и магнитное поле (7.11) в точке ${\vec r}\,'$, которые были бы созданы единичным током, если бы мы его пустили по контуру $C$.

Да, видимо, это просто так совпало, что похожее выражение, но смысл у него немного другой. Спасибо за подробное объяснение! Теперь для меня это не векторный потенциал в объекте. А векторный потенциал в объекте, создаваемый током в контуре.

[svv]

Anton_74 в сообщении #1509431 писал(а):

Там под интегралом выражение
$\frac{\vec{\nabla}' \times \vec{M}}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$.
Я предполагаю, что порядок интегрирования это как перестановка слагаемых - проинтегрировать весь вектор по объему и найти его циркуляцию или же найти циркуляцию для вектора в элементарном объеме, а потом их сложить (проинтегрировать).

Это верно (теорема Фубини, математики быстро скажут, при каких условиях она справедлива).

Anton_74 в сообщении #1509431 писал(а):

Поэтому я рассматривал выражение $d\vec{l} \cdot \frac{\vec{\nabla}' \times \vec{M}}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$ как смешенное произведение.

А вот так категорически нельзя делать, потому что набла — не вектор, а дифференцирующий оператор.

Пусть $\vec A$ и $\vec B$ — векторные поля. Если бы с $\vec\nabla$ можно было обращаться как с вектором, было бы справедливо равенство:
$\vec A\cdot(\vec\nabla\times\vec B)=-\vec B\cdot(\vec\nabla\times\vec A)$
Но возьмём в качестве $\vec B$ постоянное векторное поле. Тогда левая часть будет тождественно равна нулю (ротор константы), а правая — не обязательно.
Более того, равенство
$\vec A\cdot(\vec\nabla\times\vec B)=\vec B\cdot(\vec A\times\vec \nabla)$
бессмысленно, потому что в левой части стоит скалярное векторное поле, а в правой — оператор, ожидающий, кого бы продифференцировать. (По соглашению, $\vec \nabla$ как оператор дифференцирования действует на то, что стоит справа, и не действует на то, что слева.)
Надеюсь, убедил Вас в том, что с наблой нужно обращаться сверхосторожно.

На самом деле в (7.9) при переходе от первой строки ко второй была применена формула
$f\vec\nabla\times\vec M+(\vec\nabla f)\times \vec M = \vec\nabla\times(f\vec M)$
и произведено интегрирование по частям. Очень важно, что в первой строке (7.9) дифференцировалось поле $\vec M(\vec r\,')$, но не дифференцировался скалярный множитель $\frac 1{|\vec r-\vec r'|}$, а во второй строке (7.9) — наоборот.

Попробуйте с этой новой информацией получить из первой строки вторую (это по-прежнему непросто!), только, прошу Вас, не применяйте никаких свойств смешанных произведений, если один из «векторов» — набла.

[EUgeneUS]

Anton_74 в сообщении #1509431 писал(а):

Насколько я понял, векторный потенциал он как бы показывает как будет выглядеть вектор магнитной индукции если применить оператор div к этому вектроному потенциалу.

Это либо досадная опечатка, либо грубая ошибка.
1. Результатом применения оператора div к векторному полю будет скалярное поле. А магнитная индукция - поле векторное.
2. Поэтому векторное поле магнитной индукции (в точке - вектор магнитной индукции) есть результат применения к векторному потенциалу оператора rot.
3. А $\operatorname{div} \vec{A} = 0$, это кулоновская калибровка (бывают и и другие).
4. Калибровка нужна, потому что уравнение $\operatorname{rot} \vec{A} = \vec{B}$ определяет векторный потенциал не однозначно, а с точностью до добавки $\vec{A'}$, такой что $\operatorname{rot} \vec{A'} = 0$. Или что тоже самое: с точностью до добавки $\operatorname{grad} m$, где $m$ - любое непрерывно дифференцируемое скалярное поле.

[Anton_74]

EUgeneUS в сообщении #1509459 писал(а):

Anton_74 в сообщении #1509431 писал(а):

Насколько я понял, векторный потенциал он как бы показывает как будет выглядеть вектор магнитной индукции если применить оператор div к этому вектроному потенциалу.

Это либо досадная опечатка, либо грубая ошибка.
1. Результатом применения оператора div к векторному полю будет скалярное поле. А магнитная индукция - поле векторное.
2. Поэтому векторное поле магнитной индукции (в точке - вектор магнитной индукции) есть результат применения к векторному потенциалу оператора rot.
3. А $\operatorname{div} \vec{A} = 0$, это кулоновская калибровка (бывают и и другие).
4. Калибровка нужна, потому что уравнение $\operatorname{rot} \vec{A} = \vec{B}$ определяет векторный потенциал не однозначно, а с точностью до добавки $\vec{A'}$, такой что $\operatorname{rot} \vec{A'} = 0$. Или что тоже самое: с точностью до добавки $\operatorname{grad} m$, где $m$ - любое непрерывно дифференцируемое скалярное поле.

Вы правы, я перепутал оператор, всегда помню, что дивергенция ротора = 0, но тут не сложилось :(
Спасибо, что подробно написали.