Там под интегралом выражение

.
Я предполагаю, что порядок интегрирования это как перестановка слагаемых - проинтегрировать весь вектор по объему и найти его циркуляцию или же найти циркуляцию для вектора в элементарном объеме, а потом их сложить (проинтегрировать).
Это верно (теорема Фубини, математики быстро скажут, при каких условиях она справедлива).
Поэтому я рассматривал выражение

как смешенное произведение.
А вот так категорически нельзя делать, потому что набла — не вектор, а дифференцирующий оператор.
Пусть

и

— векторные поля. Если бы с

можно было обращаться как с вектором, было бы справедливо равенство:

Но возьмём в качестве

постоянное векторное поле. Тогда левая часть будет тождественно равна нулю (ротор константы), а правая — не обязательно.
Более того, равенство

бессмысленно, потому что в левой части стоит скалярное векторное поле, а в правой — оператор, ожидающий, кого бы продифференцировать. (По соглашению,

как оператор дифференцирования действует на то, что стоит справа, и не действует на то, что слева.)
Надеюсь, убедил Вас в том, что с наблой нужно обращаться сверхосторожно.
На самом деле в (7.9) при переходе от первой строки ко второй была применена формула

и произведено интегрирование по частям. Очень важно, что в первой строке (7.9) дифференцировалось поле

, но не дифференцировался скалярный множитель

, а во второй строке (7.9) — наоборот.
Попробуйте с этой новой информацией получить из первой строки вторую (это по-прежнему непросто!), только, прошу Вас, не применяйте никаких свойств смешанных произведений, если один из «векторов» — набла.